Wersja testu A 20 września 2005r.

1. Czy prawdziwa jest równość a) log_{5}8 = 4log_{5}2 ;

b) log_{2}5 = 3log_{8}5 ;

c) log_{8}9 = \frac{2}{3}log_{2}3 ;

d) log_{4}27 = 6log_{2}3 ?

2. Czy jest prawdą, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} x^{2}+y^{2} > 2005 ;

b) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} x^{2}+y^{2} > 2005 ;

c) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} x^{2}+y^{2} > 2005 ;

d) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} x^{2}+y^{2} > 2005 ?

3. Czy zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{5}}{5^{n}} ;

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{5}} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{5^{n}}{n!} ?

4. Czy zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{sinn} ;

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} ^{4} \sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} ^{3} \sqrt{n}}{\sqrt[4]{n}} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt[4]{n}} ?

5. Czy dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest implikacja a) |x−3| < 1 ⇒ x^{2} > 8 ;

b) |x−3| < 2 ⇒ x^{2} < 21 ;

c) |x−3| < 1 ⇒ x^{2} < 20 ;

d) |x−3| < 2 ⇒ x^{2} > 2 ?

6. Ciąg (a_{n}) jest ograniczony i rozbieżny. Czy stąd wynika, że

a) ciąg (a_{n}^{2}) jest ograniczony ;

b) ciąg (a_{n}^{2}) jest rozbieżny ;

c) ciąg (na_{n}) nie jest ograniczony ;

d) ciąg (a_{n}/n) jest zbieżny ?

7. Niech E_{n} = ∫_{0}^{π}sin(nx) dx. Czy prawdziwa jest równość

a) E_{2} = 0 ;

b) E_{1} = 2 ;

c) E_{3} = 2/3 ;

d) E_{4} = 1/2 ?

8. Czy poprawnie dokonano zmiany kolejności całkowania

a) ∫_{0}^{1} ∫_{\sqrt{x}}^{1} f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{1}∫_{y^{2}}^{1}f(x,y) dx dy;

b) ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{\sqrt{x}}f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{y^{2}}f(x,y) dx dy;

c) ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{\sqrt{x}}f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{1}∫_{y^{2}}^{1}f(x,y) dx dy;

d) ∫_{0}^{1} ∫_{\sqrt{x}}^{1} f(x,y) dy dx = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{y^{2}}f(x,y) dx dy?

9. Czy jest prawdą, że

a) lim_{x→∞} \frac{sinx}{x} = 1 ;

b) lim_{x→0} \frac{sinx}{x} = 0 ;

c) lim_{x→∞} \frac{cosx}{x} = 0 ;

d) lim_{x→0} \frac{cosx}{x} = 1 ?

10. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi równość

a) |z^{2}| = |z|^{2} ;

b) \overline{z}z^{3} = z^{2}|z|^{2} ;

c) z +\overline{z} = 2|z|;

d) z\overline{z} = |z|^{2} ?

11. Czy układ równań

\{ \begin{matrix}5x+7y & = & a \\ 3x+5y & = & b \end{matrix}

ma dokładnie jedno rozwiązanie w liczbach rzeczywistych x, y, jeżeli a) a = 75, b = 225 ;

b) a = 97, b = 970 ;

c) a = 803, b = −73 ;

d) a = 123, b = 246 ?

12. Czy wektory v_{1} = (1,0,1), v_{2} = (0,1,1) oraz v_{3} są liniowo zależne, jeżeli

a) v_{3} = (3,4,6) ;

b) v_{3} = (2,3,4) ;

c) v_{3} = (2,3,5) ;

d) v_{3} = (3,4,5) ?

13. Czy podana liczba jest wartością własną macierzy

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} )

a) 2 ;

b) 5 ;

c) 4 ;

d) 0 ?

14. Czy rząd podanej macierzy jest równy 2

a) ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 0 & 9 & 15 \end{matrix} ) ;

b) ( \begin{matrix}1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) ;

c) ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 3 & 9 & 15 \end{matrix} ) ;

d) ( \begin{matrix}1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) ?

15. Czy w grupie {0,1,2,3,4,...,23} z dodawaniem modulo 24 istnieje element rzędu

a) 8 ;

b) 6 ;

c) 3 ;

d) 10 ?

16. Czy podany zbiór jest podgrupą grupy {0,1,2,3,4,...,29} z dodawaniem modulo 30

a) {0,15};

b) {0,10,20};

c) {6,12,18,24};

d) {0,10,15}?

17. Czy grupą jest

a) zbiór {0,1,2,3,4,5} z dodawaniem modulo 6 ;

b) zbiór {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} z mnożeniem modulo 11 ;

c) zbiór {0,1,2,3,4,5} z mnożeniem modulo 6 ;

d) zbiór {1,2,3,4,5} z mnożeniem modulo 6 ?

18. W urnie znajduje się n kul z numerami 3,4,5,6,...,n+ 2. Niech E(n) będzie wartością oczekiwaną liczby na kuli wylosowanej z urny. Czy wtedy

a) E(5) = 5 ;

b) E(24) = 15 ;

c) E(11) = 7 ;

d) E(16) = 10,5 ?

19. Rzucamy trzema kostkami do gry. Niech P_{n} będzie prawdopodobieństwem, że suma liczb oczek wyrzuconych na wszystkich kostkach jest równa n. Czy wtedy

a) P_{16} = 1/36;

b) P_{17} = 1/108;

c) P_{18} = 1/180;

d) P_{15} = 5/108?

20. Rzucono dwiema kostkami do gry. Okazało się, że suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest mniejsza od 7. Niech P_{n} będzie prawdopodobieństwem, że wobec tego suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest równa n. Czy wtedy

a) P_{5} 1/4 ;

b) P_{4} 1/5 ;

c) P_{3} 1/6 ;

d) P_{6} 1/3 ?