EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (zadania otwarte) 20.09.2005

Zadanie 1. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y,z) = x^{2}+xy +y^{2}

na okręgu zdefiniowanym równaniami

x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1 x+y +z = 0 .

Wyznaczyć wszystkie punkty okręgu, w których wartości najmniejsza i największa są osiągane.

Zadanie 2. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∑_{n=1}^{∞} \frac{6^{n}}{\binom{3n}{n}} .

Zadanie 3. Obliczyć całkę

∫_{0}^{1} ∫_{y}^{1}e^{x^{2}} dx dy .

Wskazówka: Zmienić kolejność całkowania.

Zadanie 4. Dane są macierze kwadratowe A, B o wymiarach 3×3 oraz niezerowe wektory v,w ∈ ℝ^{3} o następujących własnościach:

• wektor v jest wektorem własnym macierzy A dla wartości własnej 2,

• wektor w jest wektorem własnym macierzy A dla wartości własnej 3,

• wektor v jest wektorem własnym macierzy B dla wartości własnej 7,

• wektor w jest wektorem własnym macierzy B dla wartości własnej λ. Wyznaczyć wszystkie wartości λ, dla których z powyższych założeń wynika, że wektor

v+ w jest wektorem własnym macierzy A+ B.

Zadanie 5. Podać przykład grupy nieabelowej, w której istnieje element rzędu 2 i istnieje element rzędu 3, a nie istnieje element rzędu 6.

Zadanie 6. Tomek, Witek, Xawery i Zenek grają w brydża. W jednym rozdaniu otrzymują po 13 kart z talii liczącej 52 karty.

Niech A będzie zdarzeniem:

• Tomek dostał asa trefl, Witek dostał asa pik, a Xawery dostał pozostale dwa asy (kier i karo).

Niech B będzie zdarzeniem:

• Witek dostał waleta trefl. Rozstrzygnąć, czy zdarzenia A i B są niezależne.

Zadania 1, 6 po 4 punkty, pozostałe po 3 punkty.