EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2005 Biomatematyka

Zadanie 1. (8 punktów)

Rozpatrzmy populację, dla której funkcja x(t), liczebność w chwili t, zadana jest przez równanie Gompertza

x′(t) = rx(t)log \frac{K}{x(t)},

i poddanej odłowom o stałej intensywności. Znajdź maksymalny dopuszczalny odłów nie powodujący wymarcia całej populacji.

Zadanie 2. (8 punktów)

Funkcja w: (A∪{−})×(A∪{−}) → R jest określona jako

w(a,a) = 0,
w(a,b) = 1, dlaa ≠ b
w(a,−) = w(−,a) = 2.

Odległość edycyjną d_{w} uzgodnienia (A^{∗},B^{∗}) sekwencji DNA, A i B, definiujemy jako

d_{w}(A^{∗},B^{∗}) = ∑_{i=1}^{n} w(A_{i}^{∗},B_{i}^{∗}),

gdzie n = |A^{∗}| = |B^{∗}| jest liczbą symboli w ciągach A^{∗}, B^{∗}.

Natomiast odległość edycyjną D_{w} miedzy sekwencjami DNA A i B jako D_{w}(A,B) = min{d_{w}(A^{∗},B^{∗}) : (A^{∗},B^{∗}) uzgodnienie sekwencji(A,B)}.

(i) Jaka jest odległość edycyjna sekwencji CCTT oraz ACGCTT?

(ii) Znajdź optymalne uzgodnienie dla tych ciągów.

Zadanie 3. (8 punktów)

Pewna rzadka choroba wykrywana jest na podstawie analizy krwi. W celu zmniejszenia kosztów analiza pobranych od badanych próbek krwi przeprowadzana jest w następujący sposób. Próbki krwi pochodzące od n badanych łączone są w jedną próbkę i przeprowadzany jest dla niej jeden test mający wykryć chorobę. W sytuacji gdy wynik testu okaże się dodatni, a więc w połączonej próbce znajduje się krew osoby chorej, przeprowadza się n oddzielnych testów dla każdej próbki wchodzącej w jej skład w celu zidentyfikowania osoby chorej.

(i) Zakładamy, że proporcja osób chorych w całej populacji jest równa π. Jaka jest średnia liczba testów potrzebnych do przeanalizowania Nn próbek krwi pochodzących od losowo wybranych osób?

(ii) W przypadku gdy π = 1/20 podaj wartość n liczby próbek, które powinny zostać zmieszane dla której średnia liczba testów niezbędnych do przebadania 20 próbek krwi jest najmniejsza.

Zadanie 4. (8 punktów)

Mam w kieszeni dwie nieodró żnialne kostki do gry: jedna jest symetryczna, druga mo że mieć dowolne prawdopodobieństwa wypadnięcia poszczególnych ścianek. Interesuje mnie oszacowanie prawdopodobieństwa p wypadnięcia szóstki na drugiej kości. W tym celu wyciągam z kieszeni losowo jedną z tych kości i rzucam n-krotnie, notując ile razy wypad la szóstka. Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru p. Zbadaj jego nieobcią żoność. Oblicz granicę średniego b lędu kwadratowego tego estymatora, gdy n → ∞

Zadanie 5. (8 punktów)

Dane jest równanie

x′′(t)−4x(t) = f(t), t ∈ ℝ.

Znaleźć:

a) wszystkie rozwiązania tego równania dla f(t) = t,

b) wszystkie ograniczone rozwiązania tego równania dla f(t) = cost, EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2005 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Zadanie 1. (8 punktów)

Zakład produkuje dwa wyroby, na które dzienne zapotrzebowanie wynosi łącznie od 60 do 100 sztuk. Wyroby te otrzymuje się z jednego podstawowego surowca (inne są dostępne bez ograniczeń), którego dzienne zużycie nie może przekraczać 240 jednostek, przy czym na sztukę wyrobu I potrzeba 6 jednostek surowca, a na sztukę wyrobu II – 2 jednostki tego surowca. Wyznacz optymalny plan produkcji, wiedząc, że zysk jednostkowy dla wyrobu I wynosi 1 zł, a dla wyrobu II – 5 zł, przy czym ze względu na popyt ilość wyrobu I nie powinna być mniejsza od ilości wyrobu II.

Zadanie 2. (8 punktów)

Załóżmy, że funkcja przeżycia wyraża się wzorem

s(x) = P (T > x) = \frac{\sqrt{100−x}}{10} dla 0 x 100

oraz spełniona jest hipoteza jednorodnej populacji (HJP). Obliczyć JSN dla następującej renty (20)-latka: jeśli żyje on pod koniec pierwszego roku wypłata wynosi 100, jeśli żyje pod koniec drugiego roku wypłata wynosi 1000. Przyjąć stopę procentową i = 10%.

Zadanie 3. (8 punktów)

Niech X,Y będą dwiema niezależnymi szkodami. Szkoda X ma rozkład Poissona z parametrem 2, a szkoda Y rozkład Poissona z parametrem 3. Dla Z = X +Y obliczyć:

1) P (Z > 2);

2) E(I_{2}(X)), gdzie I_{d}(X) oznacza kontrakt stop-loss.

Zadanie 4. (8 punktów)

Mam w kieszeni dwie nieodró żnialne kostki do gry: jedna jest symetryczna, druga mo że mieć dowolne prawdopodobieństwa wypadnięcia poszczególnych ścianek. Interesuje mnie oszacowanie prawdopodobieństwa p wypadnięcia szóstki na drugiej kości. W tym celu wyciągam z kieszeni losowo jedną z tych kości i rzucam n-krotnie, notując ile razy wypad la szóstka. Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru p. Zbadaj jego nieobcią żoność. Oblicz granicę średniego b lędu kwadratowego tego estymatora, gdy n → ∞ Zadanie 5. (8 punktów) Dane jest równanie

x′′(t)−4x(t) = f(t), t ∈ ℝ.

Znaleźć:

a) wszystkie rozwiązania tego równania dla f(t) = t,

b) wszystkie ograniczone rozwiązania tego równania dla f(t) = cost,

c) funkcję f tak, aby x(t) = sint by lo rozwiązaniem tego równania.

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2005 Matematyka z informatyką

Zadanie 1. (8 punktów)

Mamy następującą funkcję napisaną w języku C

int F(int a,int b) –

int c;

if(a¡=0 —— b¡=0)

return -1; do –

c = a%b; if(!c)

return b; a = b; b = c; ˝ while(1);

return -2; ˝

określoną dla liczb całkowitych. Pytania:

1. Ile wynosi F(42,66) ?

2. Ogólnie, dla dowolnych liczb naturalnych n,m określić wartość F(n,m).

3. Uzasadnić, dlaczego dla danych n,m funkcja F(n,m) zakończy swoje działanie.

Zadanie 2. (8 punktów)

Dla macierzy

A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 1 & 4 & 6 \end{matrix} ]

znaleźć (rozkład Choleskiego) macierz L – dolnie trójkątną, spełniającą:

A = LL^{T}.

Czy macierz A jest dodatnio określona?

Zadanie 3. (8 punktów)

Dla zadanej tabelki liczb (x_{i},y_{i}), i = 0,1,2,3

\begin{matrix}x & −1 & 0 & 2 & 4 \\ y & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}

wyznaczyć wielomian p = p(x) o własności:

y_{i} = p(x_{i}), i = 0,1,2,3.

Czy znaleziony wielomian jest wyznaczony jednoznacznie?

Zadanie 4. (8 punktów)

Mam w kieszeni dwie nieodró żnialne kostki do gry: jedna jest symetryczna, druga mo że mieć dowolne prawdopodobieństwa wypadnięcia poszczególnych ścianek. Interesuje mnie oszacowanie prawdopodobieństwa p wypadnięcia szóstki na drugiej kości. W tym celu wyciągam z kieszeni losowo jedną z tych kości i rzucam n-krotnie, notując ile razy wypad la szóstka. Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru p. Zbadaj jego nieobcią żoność. Oblicz granicę średniego b lędu kwadratowego tego estymatora, gdy n → ∞

Zadanie 5. (8 punktów)

Dane jest równanie

x′′(t)−4x(t) = f(t), t ∈ ℝ.

Znaleźć:

a) wszystkie rozwiązania tego równania dla f(t) = t,

b) wszystkie ograniczone rozwiązania tego równania dla f(t) = cost, EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2005 Matematyka nauczycielska

Zadanie 1. (8 punktów)

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

a) 172x+20y = 100,

b) 15x+45y +210z = 1000.

Zadanie 2. (8 punktów)

Dla k = 1,2,3 niech P_{k} będą środkami boków trójkąta równobocznego i niech S_{k} oznacza symetrię środkową względem punktu P_{k}. Złożenie tych izometrii:

S_{3}∘S_{2}∘S_{1}

jest obrotem — względem jakiego punktu i o jaki kąt? (Uzasadnić odpowiedź.)

Zadanie 3. (8 punktów)

Niech o oznacza okrąg o równaniu x^{2}+(y −3)^{2} = 1 i niech a oznacza prostą y = 0. Punkty P leżące w tej samej odległości od o co od a tworzą parabolę. Wyznacz jej równanie; podaj jej ognisko i kierownicę.

Zadanie 4. (8 punktów)

Mam w kieszeni dwie nieodró żnialne kostki do gry: jedna jest symetryczna, druga mo że mieć dowolne prawdopodobieństwa wypadnięcia poszczególnych ścianek. Interesuje mnie oszacowanie prawdopodobieństwa p wypadnięcia szóstki na drugiej kości. W tym celu wyciągam z kieszeni losowo jedną z tych kości i rzucam n-krotnie, notując ile razy wypad la szóstka. Wyznacz estymator największej wiarygodności parametru p. Zbadaj jego nieobcią żoność. Oblicz granicę średniego b lędu kwadratowego tego estymatora, gdy n → ∞

Zadanie 5. (8 punktów)

Dane jest równanie

x′′(t)−4x(t) = f(t), t ∈ ℝ.

Znaleźć:

a) wszystkie rozwiązania tego równania dla f(t) = t,

b) wszystkie ograniczone rozwiązania tego równania dla f(t) = cost, EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2005 Zastosowania

Zadanie 1. (8 punktów)

Niech {B(t);t 0} będzie standardowym ruchem Browna.

a) Znaleźć wszystkie a > 0, dla których

X_{a}(t) = \frac{B(exp(t))}{exp(at)}

jest procesem stacjonarnym. Dla znalezionych wartości a podać postać funkcji wartości oczekiwanej i kowariancji procesu X_{a}(t).

b) Obliczyć P (X_{a}(2005a)−X_{a}(a) > 0).

Zadanie 2. (8 punktów)

Niech {X_{n}}, {Y_{n}} będą wzajemnie niezależnymi ciągami niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie P (X_{n} = 0) = P (X_{n} = 2) = 1/2 oraz P (Y_{n} = 1) = P (Y_{n} = 3) = 1/2. Zbadać zbieżność

\frac{∑ _{i=1}^{n} X_{i}Y_{i}}{∑ _{i=1}^{n} Y_{i}}

dla n → ∞.

Zadanie 3. (8 punktów)

Na podstawie jednej obserwacji X weryfikuje się hipotezę H: X ma rozkład jednostajny U(0,1) przeciwko hipotezie alternatywnej K: X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Skonstruować najmocniejszy test na poziomie istotności α ∈ (0,1). Wyznaczyć funkcję mocy tego testu.

Zadanie 4. (8 punktów)

Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład ∞−podzielny, gdy dla każdego n ∈ ℕ istnieje ciąg i.i.d. zmiennych losowych Y_{1,n},Y_{2,n},...,Y_{n,n}, że

Y_{1,n} +Y_{2,n} +...+Y_{n,n} =_{d} X.

Niech N(t) będzie procesem Poissona z intensywnością λ > 0. Wykazać, że N(1) jest ∞−podzielny. Podać rozkład Y_{1,n}.

Zadanie 5. (8 punktów)

Dane jest równanie

x′′(t)−4x(t) = f(t), t ∈ ℝ.

Znaleźć:

a) wszystkie rozwiązania tego równania dla f(t) = t,

b) wszystkie ograniczone rozwiązania tego równania dla f(t) = cost,