EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (zadania otwarte) 23.06.2005

Zadanie 1. (3 punkty) Wyznaczyć wartość parametru A, dla której funkcja f określona wzorem

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{3x} −e^{2x} −x}{x^{2}} & dla & x ≠ 0 \\ A & dla & x = 0 \end{matrix}

jest różniczkowalna w zerze oraz obliczyć f′(0) dla tej wartości parametru.

Zadanie 2. (3 punkty) Obliczyć objętość bryły

{(x,y,z) : x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4} z A}

w zależności od parametru dodatniego A.

Zadanie 3. (3 punkty) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y) = x−2y +|2x|

na okręgu C = {(x,y) : x^{2}+y^{2} = 1}. Wyznaczyć wszystkie punkty okręgu, w których wartości najmniejsza i największa są osiągane.

Zadanie 4. (3 punkty) Dane są macierze kwadratowe A i B o wymiarach 3×3 i wyrazach rzeczywistych.

Wektor v ∈ ℝ^{3} jest jednocześnie wektorem własnym macierzy A i wektorem własnym macierzy B. Dowieść, że wektor v jest wektorem własnym macierzy AB.

Zadanie 5. (3 punkty) Dana jest grupa nieabelowa (nieprzemienna) G oraz jej elementy a, b spełniające

warunki:

1^{∘} rząd elementu ab^{4} jest równy 7, 2^{∘} a = b^{−1} . Wyznaczyć rząd elementu b, jeśli wiadomo, że jest on liczbą pierwszą.

Zadanie 6. (2+3=5 punktów)

a) Obliczyć prawdopodobieństwo P_{n} tego, że w 2n+2005 rzutach symetryczną monetą wypadło n+2005 orłów i n reszek.

b) Ile razy powinniśmy rzucić symetryczną monetą, aby zmaksymalizować prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba wyrzuconych orłów będzie większa od liczby wyrzuconych reszek dokładnie o 2005 ?

Wskazówka: Porównać prawdopodobieństwa P_{n} dla różnych n rozważając ilorazy P_{n+1} /P_{n}.