Egzamin dyplomowy — specjalność nauczycielska, czerwiec 2005

Zadanie 1. Rozważmy stwierdzenie:

Liczba jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr w systemie pozycyjnym o podstawie k jest podzielna przez 4.

a) Czy jest ono prawdziwe dla k = 8 ?

b) Czy jest ono prawdziwe dla k = 9 ?

c) Czy jest ono prawdziwe dla k = 10 ?

Rozwia‘zanie. (szkic)

a) NIE, bowiem liczba [10]_{8} = [8]_{10} jest podzielna przez 4, a suma 1 + 0 – nie.

b) TAK. Najpierw zauważmy, że 9^{j} −1 = (9−1)·(9^{j−1}+9^{j−2}+…+9^{1}+1), wie‘c

4 dzieli 9^{j} −1 dla j = 1, 2, … Ponieważ ∑_{k=1}^{n} a_{k} ·9^{k−1} = ∑_{k=2}^{n} a_{k} ·(9^{k−1}−1)+ ∑_{k=1}^{n} a_{k},

wie‘c 4 dzieli [a_{n} … a_{1}]_{9} ⇔ 4 dzieli sume‘ cyfr ∑_{k=1}^{n} a_{k}

c) NIE, bowiem liczba [20]_{10} jest podzielna przez 4, a suma 2 + 0 – nie.

Zadanie 2. Podać równania pewnych dwóch prostych a i b takich, że złożenie odbić S_{a} ∘ S_{b} (symetrii osiowych wzgle‘dem tych prostych) jest obrotem wzgle‘dem punktu P (2, 1) o ka‘t 60^{0}. Uzasadnić odpowiedź.

Rozwia‘zanie. (szkic) Wiadomo, że złożnie symetrii wzgle‘dem przecinaja‘cych sie‘ prostych jest obrotem wzgle‘dem punktu przecie‘cia tych prostych o ka‘t be‘da‘cy dwukrotnościa‘ ka‘ta przecie‘cia tych prostych. Zatem proste a, b powinny przechodzić przez punkt P i przecinać sie‘ pod ka‘tem 30^{o}; np.: y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x − 2) + 1, y = 1.

Zadanie 3. Niech o oznacza okra‘g o równaniu x^{2} + y^{2} = 4 i niech A(1, 0). Zbiór punktów P takich, że odległość AP jest równa odległości punktu P od okre‘gu o tworzy elipse‘. Wyznaczyć jej równanie; podać długości półosi.

Rozwia‘zanie. (szkic) Oczywiście P musi leżeć we wne‘trzu okre‘gu o i jego odległość od o jest równa 2 − SP, gdzie S(0, 0). Zatem warunek 2 − SP = AP daje równanie:

2 − \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(x − 1)^{2} + y^{2}}

ska‘d podnosza‘c do kwadratu dostajemy

4 − 4\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x^{2} + y^{2} = x^{2} − 2x + 1 + y^{2}.

Po uporza‘dkowaniu i podniesieniu jeszcze raz do kwadratu mamy:

16(x^{2} + y^{2}) = (3 + 2x)^{2}

co daje (po dalszych nietrudnych przekształceniach) odpowiedź:

\frac{(x − \frac{1}{2})^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\frac{3}{4}} = 1.

Półosie maja‘ długość: 1 i \sqrt{3}/2 . (Ogniskami sa‘ punkty: S i P.)