Wersja testu A 23 czerwca 2005r.

1. Czy prawdziwa jest nierówność a) log_{2}6 < 1+log_{2}3 ;

b) log_{5}11 < log_{7}11 ;

c) log_{4}7 < log_{4}11 ;

d) log_{3}6 < 1+log_{3}2 ?

2. Czy jest prawdą, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} y < e^{x} ;

b) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} y < e^{x} ;

c) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} y < e^{x} ;

d) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} y < e^{x} ?

3. Czy zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{arctgn} ;

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n· ^{3} \sqrt{n}};

d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n\sqrt{n}} ?

4. Szereg ∑_{n=1}^{∞} a_{n} jest szeregiem zbieżnym o wyrazach dodatnich. Czy stąd wynika, że zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n}a_{n} ;

b) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{a_{n}} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} \sqrt{a_{n}} ?

5. Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y spełniających warunki |x−10| < 2 oraz |y −5| < 1 prawdziwa jest nierówność

a) |x+y| < 20 ;

b) |x−y| < 7 ;

c) |x+y| > 12 ;

d) |x−y| > 1 ?

6. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem ma granicę skończoną

a) a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n} +n} ;

b) a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+n} −n} ;

c) a_{n} = \sqrt{n^{2}+n} +n ;

d) a_{n} = \sqrt{n^{2}+n} −n ?

7. Czy prawdziwa jest równość

a) ∫_{1}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} dx = \frac{1}{2}ln5 ;

b) ∫_{1}^{7} \frac{x}{x^{2}+1} dx = ln5 ;

c) ∫_{2}^{8} \frac{x}{x^{2}+1} dx = ln5 ;

d) ∫_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}+1} dx = \frac{1}{2}ln5 ?

8. Niech f(x,y) = xe^{xy}. Czy poprawnie podano wzór na pochodną cząstkową

a) f′′_{xy}(x,y)= 3xe^{xy} ;

b) f′_{y}(x,y)= x^{2}e^{xy} +e^{xy} ;

c) f′_{x}(x,y)= xye^{xy} +e^{xy} ;

d) f′′_{yy}(x,y)= x^{3}e^{xy} ?

9. Czy jest prawdą, że

a) arctg(−1) = −π/4 ;

b) lim_{x→∞} arctgx = π/2 ;

c) lim_{x→∞} arctg(−x) = −π/2 ;

d) lim_{x→∞} arctg(2x) = π ?

10. Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z^{8} = 16

a) z = −2i;

b) z = \sqrt{2}i;

c) z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} ;

d) z = 1−i?

11. Czy układ równań

\{ \begin{matrix}6x+9y & = & a \\ 4x+6y & = & b \end{matrix}

ma co najmniej jedno rozwiązanie w liczbach rzeczywistych x, y, jeżeli a) a = 200, b = 100 ;

b) a = 300, b = 200 ;

c) a = 200, b = 300 ;

d) a = 300, b = 450 ?

12. Czy wektory v_{1} = (1,1,0), v_{2} = (0,1,1) oraz v_{3} są liniowo niezależne, jeżeli

a) v_{3} = (13,14,2) ;

b) v_{3} = (11,14,3) ;

c) v_{3} = (12,14,1) ;

d) v_{3} = (10,14,4) ?

13. Czy podana liczba jest wartością własną macierzy

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{matrix} )

a) 1 ;

b) 3 ;

c) 4 ;

d) 2 ?

14. Czy rząd podanej macierzy jest równy 3

a) ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} ) ;

b) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} ) ;

c) ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) ;

d) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) ?

15. Czy w grupie S_{3} permutacji zbioru 3-elementowego istnieje element rzędu

a) 6 ;

b) 4 ;

c) 3 ;

d) 2 ?

16. Czy podany zbiór jest podgrupą grupy {0,1,2,3,4,...,20} z dodawaniem modulo 21

a) {1,20};

b) {0,6,12,18};

c) {0,3,7};

d) {0,7,14}?

17. Czy grupą jest

a) zbiór {0,1,2,3,4,5,6} z dodawaniem modulo 7 ;

b) zbiór {1,2,3,4,5,6} z mnożeniem modulo 7 ;

c) zbiór {1,2,3,4,5,6} z dodawaniem modulo 7 ;

d) zbiór {0,1,2,3,4,5,6} z mnożeniem modulo 7 ?

18. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie liczba mniejsza od 4, jest ona wynikiem gry. W przeciwnym razie wynikiem gry jest liczba wyrzuconych oczek pomnożona przez n. Niech E(n) będzie wartością oczekiwaną wyniku gry. Czy wtedy

a) E(3) = 9 ;

b) E(6) = 16 ;

c) E(5) = 25/2 ;

d) E(4) = 11 ?

19. Dane są dwie monety: jedna symetryczna z orłem po jednej stronie i reszką po drugiej, zaś druga z orłami po obu stronach. Wybrano losowo jedną z monet i wykonano nią n rzutów. Niech P_{n} będzie prawdopodobieństwem, że wypadły same orły. Czy wtedy

a) P_{2} = 5/6;

b) P_{1} = 3/4;

c) P_{4} = 16/17;

d) P_{3} = 9/16?

20. Rzucamy jednocześnie 12 monet: 10 symetrycznych i 2 o prawdopodobieństwie wypadnięcia orła równym p. Niech E(p) będzie wartością oczekiwaną liczby monet, które zwrócone są reszką do góry. Czy wtedy a) E(0.2) 6 ;

b) E(0.6) 6 ;

c) E(0.4) 5 ;

d) E(0.1) 4 ?