EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 27.06.2005 Biomatematyka

Zadanie 1. (8 punktów)

Rozpatrzmy populację, dla której funkcja x(t), liczebność w chwili t, zadana jest przez równanie Gompertza

x′(t) = rx(t)log \frac{K}{x(t)},

i poddanej odłowom na stałym poziomie H. Znajdź maksymalny dopuszczalny poziom odłowów H nie powodujący wymarcia całej populacji.

Zadanie 2. (8 punktów)

Funkcja w: (A∪{−})×(A∪{−}) → R jest określona jako

w(a,a) = 0,
w(a,b) = 1, dlaa ≠ b
w(a,−) = w(−,a) = 1.

Odległość edycyjną d_{w} uzgodnienia (A^{∗},B^{∗}) sekwencji DNA, A i B, definiujemy jako

d_{w}(A^{∗},B^{∗}) = ∑_{i=1}^{n} w(A_{i}^{∗},B_{i}^{∗}),

gdzie n = |A^{∗}| = |B^{∗}| jest liczbą symboli w ciągach A^{∗}, B^{∗}.

Natomiast odległość edycyjną D_{w} miedzy sekwencjami DNA A i B jako D_{w}(A,B) = min{d_{w}(A^{∗},B^{∗}) : (A^{∗},B^{∗}) uzgodnienie sekwencji(A,B)}.

(i) Jaka jest odległość edycyjna sekwencji CCT oraz ACGCTT?

(ii) Znajdź optymalne uzgodnienie dla tych ciągów.

Zadanie 3. (8 punktów)

Rozważmy rzadką chorobę, na która szansa zapadnięcia wynosi 0,001. Test medyczny daje wynik dodatni, wykrywa chorobę, u osoby chorej z prawdopodobieństwem 0,99. W przypadku osoby zdrowej prawdopodobieństwo uzyskania dodatniego wyniku testu wynosi 0,02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba, w przypadku której test dał wynik dodatni jest rzeczywiście chora?

Zadanie 4. (8 punktów)

Liczba odmian o kolorze ró żowym, bia lym i niebieskim dla pewnego gatunku kwiatów jest w stosunku 3:2:5. W 100 losowo wybranych próbkach odpowiednie liczby kwiatów o kolorach ró żowym, bia lym i niebieskim by ly 24,14 i 62. Przeprowadź na poziomie istotności 0.01 test czy ró żnica pomiędzy obserwowaną a wynikającą z teorii liczbą kwiatów o tych kolorach jest istotna.[TABLICE χ^{2}] Zadanie 5. (8 punktów) Dla następującego równania

(t−1)x′(t) = tx(t), t ∈ ℝ,

a) wyznaczyć jedno rozwiązanie spełniające x(2) = 1,

b) znaleźć przynajmniej dwa rozwiązania spe lniające x(1) = 0,

c) wykazać, że nie istnieje rozwiązanie spe lniające x(1) = 1.

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 27.06.2005 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Zadanie 1. (8 punktów)

Dane jest następujące zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować

∑_{i=1}^{n} ix_{i},

przy ograniczeniach

∑_{i=1}^{k} x_{i} k, k = 1,...,n,

x_{i} 0, i = 1,...,n,

(a) sprawdź, czy wektor x^{0} = (n,0,...,0) jest optymalnym rozwiązaniem tego zagadnienia;

(b) podaj optymalną wartość funkcji celu.

Zadanie 2. (8 punktów)

Załóżmy, że funkcja przeżycia wyraża się wzorem s(x) = P (T > x) = 1− \frac{x}{90} dla x ∈ [0,90] oraz że zachodzi hipoteza jednostajności (HU).

1) Obliczyć prawdopodobieństwo, że 50-latek umrze pomiędzy 50,5 i 51,5 rokiem życia.

2) Wyznaczyć JSN dla czystego ubezpieczenia na dożycie na 2 lata dla osoby w wieku 50 lat. Przyjąć stopę procentową i = 10%.

Zadanie 3. (8 punktów)

Niech S_{1} = ∑ _{0}^{N_{1}} X_{i},S_{2} = ∑ _{0}^{N_{2}} Y_{i} będą niezależnymi sumarycznymi szkodami losowymi, gdzie N_{1},N_{2} są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrem 2, a X_{i},Y_{i}, i 1 (X_{0} = Y_{0} = 0) mają odpowiedznio rozkład równomierny na zbiorze {2,4} oraz {4,6}. Dla S = S_{1}+S_{2} obliczyć:

1) P (S = 0);

2) ES.

Zadanie 4. (8 punktów)

Liczba odmian o kolorze ró żowym, bia lym i niebieskim dla pewnego gatunku kwiatów jest w stosunku 3:2:5. W 100 losowo wybranych próbkach odpowiednie liczby kwiatów o kolorach ró żowym, bia lym i niebieskim by ly 24,14 i 62. Przeprowadź na poziomie istotności 0.01 test czy ró żnica pomiędzy obserwowaną a wynikającą z teorii liczbą kwiatów o tych kolorach jest istotna.[TABLICE χ^{2}]

Zadanie 5. (8 punktów)

Dla następującego równania

(t−1)x′(t) = tx(t), t ∈ ℝ,

a) wyznaczyć jedno rozwiązanie spełniające x(2) = 1,

b) znaleźć przynajmniej dwa rozwiązania spe lniające x(1) = 0,

c) wykazać, że nie istnieje rozwiązanie spe lniające x(1) = 1.

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 27.06.2005 Matematyka z informatyką

Zadanie 1. (8 punktów) Mamy następującą deklarację B–drzewa

typedef struct StTree –

char c; int n; struct StTree *L,*P;

˝ TStTree; typedef TStTree *PStTree;

oraz został wykonany następujący fragment programu:

TStTree B,C; PStTree A,w; int i;

A = (PStTree)malloc(sizeof(TStTree)); A-¿n = 0; A-¿c = ’a’; A-¿L = &B; A-¿P = &C; B.n = 0; B.c = ’b’; B.L = A; B.P = &B; C.n = 0; C.c = ’c’; C.L = &C; C.P = A; w = A; i = 0; do –

w-¿n++; switch(w-¿c) –

case ’a’: case ’b’:

w = (w-¿n%2 ?w-¿P:w-¿L); break; case ’c’:

w = (w-¿n%2 ?w-¿L:w-¿P);

break; ˝ ++i;

˝ while(w-¿n¡3);

Jakie w wyniku tego, wartości przyjmą zmienne:

1. A-¿n,

2. B.n,

3. C.n,

4. i.

Zadanie 2. (8 punktów) Jaka jest \underline{najmniejsza liczba rzeczywista dodatnia}dla liczb komputerowych mających

3 bitową mantysę, 2 bitową cechę oraz bias (odchylenie) -1 w przedstawieniu:

1. swobodnym,

2. znormalizowanym,

3. de–znormalizowanym,

4. znormalizowanym z ukrytym bitem,

Zadanie 3. (8 punktów) Niech

w = [ −\frac{\sqrt{2}}{4} ; \frac{\sqrt{2}}{2} ; −\frac{\sqrt{6}}{4} ] i A = I −ww^{T}.

Wykazać, że wtedy |det(A)| = 1.

Zadanie 4. (8 punktów) Liczba odmian o kolorze ró żowym, bia lym i niebieskim dla pewnego gatunku kwiatów

jest w stosunku 3:2:5. W 100 losowo wybranych próbkach odpowiednie liczby kwiatów o kolorach ró żowym, bia lym i niebieskim by ly 24,14 i 62. Przeprowadź na poziomie istotności 0.01 test czy ró żnica pomiędzy obserwowaną a wynikającą z teorii liczbą kwiatów o tych kolorach jest istotna.[TABLICE χ^{2}]

Zadanie 5. (8 punktów) Dla następującego równania

(t−1)x′(t) = tx(t), t ∈ ℝ,

a) wyznaczyć jedno rozwiązanie spełniające x(2) = 1,

b) znaleźć przynajmniej dwa rozwiązania spe lniające x(1) = 0,

c) wykazać, że nie istnieje rozwiązanie spe lniające x(1) = 1.

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 27.06.2005 Matematyka nauczycielska

Zadanie 1. (8 punktów) Rozważmy stwierdzenie: Liczba jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr w systemie

pozycyjnym o podstawie k jest podzielna przez 4.

a) Czy jest ono prawdziwe dla k = 8 ?

b) Czy jest ono prawdziwe dla k = 9 ?

c) Czy jest ono prawdziwe dla k = 10 ? Odpowiedź uzasadnić.

Zadanie 2. (8 punktów) Podać równania pewnych dwóch prostych a i b takich, że złożenie odbić S_{a}∘S_{b} (sy-

metrii osiowych względem tych prostych) jest obrotem względem punktu P (2,1) o kąt 60^{∘}. Odpowiedź uzasadnić.

Zadanie 3. (8 punktów) Niech o oznacza okrąg o równaniu x^{2}+y^{2} = 4 i niech A(1,0). Zbiór punktów P takich,

że odległość AP jest równa odległości punktu P od okręgu o tworzy elipsę. Wyznaczyć jej równanie; podać długości półosi.

Zadanie 4. (8 punktów) Liczba odmian o kolorze ró żowym, bia lym i niebieskim dla pewnego gatunku kwiatów

jest w stosunku 3:2:5. W 100 losowo wybranych próbkach odpowiednie liczby kwiatów o kolorach ró żowym, bia lym i niebieskim by ly 24,14 i 62. Przeprowadź na poziomie istotności 0.01 test czy ró żnica pomiędzy obserwowaną a wynikającą z teorii liczbą kwiatów o tych kolorach jest istotna.[TABLICE χ^{2}]

Zadanie 5. (8 punktów) Dla następującego równania

(t−1)x′(t) = tx(t), t ∈ ℝ,

a) wyznaczyć jedno rozwiązanie spełniające x(2) = 1,

b) znaleźć przynajmniej dwa rozwiązania spe lniające x(1) = 0,

c) wykazać, że nie istnieje rozwiązanie spe lniające x(1) = 1.

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 27.06.2005 Zastosowania

Zadanie 1. (8 punktów) Niech {B(t);t 0} będzie standardowym ruchem Browna, a > 0. Znaleźć rozkłady

graniczne, gdy n → ∞, dla

a) \frac{B(an)}{n};

b) \frac{B(an)}{\sqrt{n}}.

Zadanie 2. (8 punktów) Zmienna losowa X_{n}, n 1 ma rozkład χ^{2}(n). Wykazać, źe

\frac{X_{n} −n}{\sqrt{2n}} →_{d} N(0,1),

gdy n → ∞.

Zadanie 3. (8 punktów) Niech (X_{1},...,X_{n}) będzie wynikiem n niezależnych doświadczeń, polegających na zli-

czaniu ilości orłów otrzymanych przy rzucie 10-cioma monetami o nieznanym prawdopodobieństwie wypadnięcia orła θ. Korzystając z kryterium faktoryzacji wyznaczyć statystykę dostateczną dla θ. Czy otrzymana statystyka jest minimalną statystyką dostateczną? Odpowiedź uzasadnić.

Zadanie 4. (8 punktów) Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste a takie, że łańcuch Markowa o macierzy praw-

dopodobieństw przejść

( \begin{matrix}a^{3} & 1−a^{2} & (1−a)/4 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{matrix} )

ma dokładnie jeden rozklad stacjonarny. Podać ten rozkład.

Zadanie 5. (8 punktów) Dla następującego równania

(t−1)x′(t) = tx(t), t ∈ ℝ,

a) wyznaczyć jedno rozwiązanie spełniające x(2) = 1,

b) znaleźć przynajmniej dwa rozwiązania spe lniające x(1) = 0,

c) wykazać, że nie istnieje rozwiązanie spe lniające x(1) = 1.