Wersja testu A 14 lutego 2005r.

1. Dane są liczby niewymierne dodatnie x, y. Czy stąd wynika, że a) liczba x+y jest niewymierna ;

b) co najmniej jedna z liczb x·y oraz x/y jest niewymierna ;

c) co najmniej jedna z liczb x+ y oraz x− y jest niewymierna ;

d) liczba x−y jest niewymierna ?

2. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem ma granicę skończoną a) a_{n} = (−1)^{n} ·n;

b) a_{n} = (−1)^{n^{2}+n} ;

c) a_{n} = n^{(−1)^{n}} ;

d) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} ?

3. Czy zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}} ;

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{\binom{2n}{n}}{3^{n}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{\binom{2n}{n}}{7^{n}} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{5^{n}}{\binom{2n}{n}} ?

4. Czy podana liczba jest dodatnia

a) sin13 ;

b) sin9 ;

c) sin15 ;

d) sin11 ?

5. Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest implikacja

a) |x| y ⇒ −y x;

b) x^{2} ≠ y^{2} ⇒ x ≠ y;

c) |x| y ⇒ −y x;

d) x^{2} = y^{2} ⇒ x = y?

6. Czy funkcja f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & dla & x > 1 \\ ax+b & dla & x 1 \end{matrix} jest różniczkowalna w punkcie x = 1, jeżeli

a) a = −1, b = 2 ;

b) a = 2, b = 1 ;

c) a = 1, b = 2 ;

d) a = 2, b = −1 ?

7. Czy prawdziwa jest równość

a) ∫_{7}^{13}\frac{2x+1}{x^{2}+x} dx = ln3 ;

b) ∫_{2}^{3} \frac{2x+1}{x^{2}+x} dx = ln2 ;

c) ∫_{14}^{20}\frac{2x+1}{x^{2}+x} dx = ln2 ;

d) ∫_{5}^{9} \frac{2x+1}{x^{2}+x} dx = ln3 ?

8. Niech f(x) = x^{5}+x. Czy istnieje taka liczba x_{0} ∈ [1,2], że

a) f (x_{0})= 2^{π} ;

b) f (x_{0})= 7π;

c) f (x_{0})= \sqrt{3};

d) f (x_{0})= 37 ?

9. Czy jest prawdą, że

a) ∀_{a∈ℝ} ∃_{b∈ℝ} ∀_{c∈ℝ} ∃_{d∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} z ≠ a+b+c+d ;

b) ∃_{a∈ℝ} ∀_{b∈ℝ} ∃_{c∈ℝ} ∀_{d∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} z = a+b+c+d ;

c) ∀_{a∈ℝ} ∃_{b∈ℝ} ∀_{c∈ℝ} ∃_{d∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} z > a+b+c+d ;

d) ∃_{a∈ℝ} ∀_{b∈ℝ} ∃_{c∈ℝ} ∀_{d∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} z < a+b+c+d ?

10. Niech z = \sqrt{3}+i. Czy wtedy

a) Re(z^{22}) 0 ;

b) Re(z^{21}) 0 ;

c) Re(z^{15}) 0 ;

d) Re(z^{5}) 0 ?

11. Dany jest układ 17 równań liniowych \underline{jednorodnych} z 4 niewiadomymi. Wiadomo, że wektory (1,0,0,0) i (0,1,0,0) są rozwiązaniami danego układu równań, a wektory (0,0,1,0) i (0,0,0,1) nie są rozwiązaniami układu równań. Czy stąd wynika, że

a) wektor (0,0,0,2) nie jest rozwiązaniem danego układu równań ;

b) wektor (1,1,1,0) nie jest rozwiązaniem danego układu równań ;

c) wektor (1,2,0,0) jest rozwiązaniem danego układu równań ;

d) wektor (0,0,1,1) nie jest rozwiązaniem danego układu równań ?

12. Czy podany wektor przestrzeni ℝ^{3} jest kombinacją liniową o współczynnikach rzeczywistych wektorów (3,3,3), (4,4,6) i (6,6,12)

a) (6,3,3) ;

b) (15,16,18) ;

c) (0,0,7) ;

d) (1,1,0) ?

13. Czy podany wektor jest wektorem własnym macierzy

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

a) (0,0,1) ;

b) (1,2,0) ;

c) (1,1,2) ;

d) (0,2,0) ?

14. Czy rząd podanej macierzy jest równy 2

a) ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \end{matrix} ) ;

b) ( \begin{matrix}1 & 4 & 8 & 16 \\ 0 & 0 & 7 & 13 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \end{matrix} ) ;

c) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 5 & 10 & 15 \end{matrix} ) ;

d) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) ?

15. Czy w dowolnej grupie rzędu 4 istnieje element rzędu a) 4 ;

b) 3 ;

c) 2 ;

d) 1 ?

16. Czy podany zbiór jest podgrupą grupy {0,1,2,3,4,5} z dodawaniem modulo 6

a) {1,2,4};

b) {0,3};

c) {0,1};

d) {0,2,4}?

17. Niech P będzie pierścieniem funkcji ciągłych na ℝ o wartościach rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem punktowym jako działaniami. Czy ideałem pierścienia P jest

a) {f ∈ P : f(7) = 0};

b) zbiór wielomianów stopnia mniejszego od 7 ;

c) zbiór funkcji stałych ;

d) {f ∈ P : f(0) = 7}?

18. W urnie znajduje się b kul białych i c kul czarnych. Losujemy (bez zwracania) dwie kule. Czy prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule są białe, jest równe 1/2, jeżeli

a) b = 3, c = 1 ;

b) b = 15, c = 6 ;

c) b = 11, c = 4 ;

d) b = 7, c = 3 ?

19. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Niech P_{n} będzie prawdopodobieństwem, że orzeł wypadł dokładnie jeden raz. Czy wtedy

a) P_{4} 1/4;

b) P_{3} 1/3;

c) P_{6} 1/10;

d) P_{5} 1/6?

20. Przy rzucie specjalnie spreparowaną kostką do gry, szóstka wypada z prawdopodobieństwem p, a liczby 1,2,3,4,5 wypadają z jednakowymi prawdopodobieństwami. Niech E(p) będzie wartością oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek w pojedynczym rzucie. Czy wtedy

a) E(0.3) 3.875 ;

b) E(0.1) 3.25 ;

c) E(0.4) 4.25 ;

d) E(0.2) 3.6 ?