EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (zadania otwarte) 14.02.2005

Zadanie 1. Dowieść, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność

\binom{2n+2}{n} 4^{n} .

Zadanie 2. Obliczyć objętość bryły

{(x,y,z) : x^{2}+y^{2} z A}

w zależności od parametru dodatniego A.

Zadanie 3. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y) = x^{4}+y^{4}+2(x−1)(x+1)(y −1)(y +1)

na kwadracie K = {(x,y) : x,y ∈ [−1,1]}. Wyznaczyć wszystkie punkty kwadratu, w których wartości najmniejsza i największa są osiągane.

Zadanie 4. Wektory x,y,z ∈ ℝ^{3} spełniają warunki ∥x∥ = ∥y∥ = ∥z∥ = 1

⟨x,y⟩ = ⟨y,z⟩ = ⟨z,x⟩ = −\frac{1}{2} ,

gdzie ⟨x,y⟩ = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3} jest iloczynem skalarnym wektorów x i y, natomiast ∥x∥ = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} jest długością wektora x.

Dowieść, że wektory x, y oraz z są liniowo zależne.

Zadanie 5. W grupie G dla dowolych elementów a i b zachodzi równość

ab = b^{3}a^{3} .

Dowieść, że grupa G jest abelowa (przemienna).

Zadanie 6. W losowaniu Multilotka losuje się zbiór 20 różnych liczb spośród liczb 1, 2, 3, ..., 80.

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród liczb wylosowanych w pojedynczym losowaniu Multilotka są jednocześnie liczby 1, 2, 3.

b) Niech E będzie wartością oczekiwaną liczby trójek kolejnych liczb wylosowanych w pojedynczym losowaniu Multilotka. Zastanawiamy się, czy widząc wyniki losowania Multilotka powinniśmy się dziwić znajdując trzy kolejne liczby. W tym celu rozstrzygnąć, czy E jest mniejsze, większe czy równe 1.

Uwaga: Jeżeli wylosowano np. liczby 5, 6, 7, 8, to uważamy, ze wylosowano co najmniej dwie trójki kolejnych liczb: 5,6,7 i 6,7,8.