EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (zadania otwarte) 17.09.2004

Zadanie 1. (3 punkty) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru A, dla których funkcja

f_{A}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{Ax} −e^{Ax^{2}} −Ax}{x^{2}} & dla & x ≠ 0 \\ 0 & dla & x = 0 \end{matrix}

jest różniczkowalna w zerze. Obliczyć f′_{A}(0) dla każdej z wyznaczonych wartości parametru A.

Zadanie 2. (3 punkty) Obliczyć całkę

∫_{−R}^{R} ∫_{−\sqrt{R^{2}−x^{2}}}^{\sqrt{R^{2}−x^{2}}} (x^{2}+y^{2})e^{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}} dy dx .

Zadanie 3. (4 punkty) Dowieść, że szereg

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n} −1}

jest zbieżny, a jego suma jest mniejsza od 2.

Zadanie 4. (3 punkty) Podać przykład macierzy o wymiarach 3×3, której wielomian charakterystyczny jest

równy −x^{3}+3x+2, a wektory (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) są wektorami własnymi.

Zadanie 5. (3 punkty) Wyznaczyć liczbę elementów rzędu 2 w grupie permutacji S_{4}.

Zadanie 6. (4 punkty) Gracze A, B, C i D grają w następującą grę. Każdy z graczy wpłaca do puli 60 złotych

i obstawia orła lub reszkę. Następnie wykonuje się rzut monetą i pula dzielona jest po równo między graczy, którzy trafnie obstawili wynik rzutu monetą.

Gracz A zawsze obstawia orła. Gracze B i C zawsze obstawiają reszkę. Gracz D obstawia orła lub reszkę z jednakowym prawdopodobieństwem.

Wyznaczyć wartość oczekiwaną wygranej netto (tzn. po odliczeniu kwoty wpłaconej do puli) każdego z graczy w jednej rozegranej grze.