EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 21.09.2004 Biomatematyka

Zadanie 1. (8 punktów)

Zakładamy, że nukleotydy na poszczególnych pozycjach w genomie bakterii E. coli o długości 4.7x10^{6} par zasad występują w sposób niezależny z tą samą częstością. Jakiej ilości fragmentów restrykcyjnych możemy oczekiwać po przeprowadzeniu kompletnego trawienia enzymem restrykcyjnym Hae III, który rozpoznaje fragment GGCC ?

Zadanie 2. (8 punktów)

Przyjmijmy, ze mutacje nukleotydów w DNA następują zgodnie z modelem Kimury z parametrem transwersji α i tranzycji β, a więc substytucje nukleotydów opisane są przez łańcuch Markowa o macierzy przejść w jednym kroku postaci

[ \begin{matrix}1−α−2β & β & β & α \\ β & 1−α−2β & α & β \\ β & α & 1−α−2β & β \\ α & β & β & 1−α−2β \end{matrix} ]

Jaką frakcję poszczególnych nukleotydów będziemy obserwować, w tak ewoluującym DNA , po upływie długiego czasu?

Zadanie 3. (8 punktów)

W urnie znajduje się N kul ponumerowanych liczbami od 1 do N. Losujemy bez zwracania próbkę o liczebności n. Oznaczmy przez η największy spośród numerów kul w tej próbce. Znajdź rozkład zmiennej losowej η.

Zadanie 4. (8 punktów)

Przyjmujemy, że wytrzymałość betonu ma rozkład normalny ze średnią wytrzymałością na ściskanie równą 203x10^{5}N/m^{2}. W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnej partii betonu, która wedle zapewnień producenta ma większa wytrzymałość na ściskanie niż przeciętna, dokonano n = 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu otrzymując następujące wyniki (w 10^{5}N/m^{2}):

Wytrzymałość 190-194 194-198 198-202 202-206 206-210 210-214
Liczba pomiarów  6  12  26  20  11  5

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej wytrzymałości na ściskanie tej partii betonu na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie y = y(t) zagadnienia

y′′+y′−2y = 18te^{t}

y(0) = 0
y′(0) = 1 .

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 21.09.2004 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Zadanie 1. (8 punktów)

Właściciel obszaru o powierzchni 4 ha (40 000 m^{2}) postanowił założyć na nim sad jabłoni, przeznaczając na ten cel 30 000 zł. Ma do wyboru 3 gatunki sadzonek jabłoni w cenie: gatunek A – 10 zł/szt., gatunek B – 20 zł/szt., gatunek C – 15 zł/szt. Gatunki te mają różne wymagania pielęgnacyjne; między innymi 1 drzewo gatunku A zajmuje 16 m^{2} powierzchni, gatunku B – 10 m^{2}, a gatunku C – 20 m^{2}. Wiadomo też, że ze względu na wydajność oraz ceny owoców zysk z tytułu eksploatacji drzewa gatunku A wynosi 2 000 zł, gatunku B – 2 500 zł, a gatunku C – 3 000 zł rocznie.

Ułóż odpowiednie zadanie programowania liniowego i znajdź jego rozwiązanie optymalne.

Zadanie 2. (8 punktów)

Zakładamy hipotezę jednorodnej populacji oraz s(x) = P (T > x) = \frac{\sqrt{100−x}}{10} , dla 0 x 100.

1) Wyznaczyć prawdopodobieństwo _{36}p_{24} tego, że 24-latek przeżyje co najmniej 36 lat.

2) Przy założeniu hipotezy jednostajności (HU) obliczyć prawdopodobieństwo_{0.5}q_{30} tego, że 30-latek umrze przed upływem 1/2 roku.

Zadanie 3. (8 punktów)

Szkoda X ma rozkład równomierny na zbiorze {0,1,2,3,...,10}. Dla kontraktu stop-loss I_{d}(X) obliczyć:

1) E(I_{2}(X)).

2) V ar(I_{1}(X)).

Zadanie 4. (8 punktów)

Przyjmujemy, że wytrzymałość betonu ma rozkład normalny ze średnią wytrzymałością na ściskanie równą 203x10^{5}N/m^{2}. W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnej partii betonu, która wedle zapewnień producenta ma większa wytrzymałość na ściskanie niż przeciętna, dokonano n = 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu otrzymując następujące wyniki (w 10^{5}N/m^{2}):

Wytrzymałość 190-194 194-198 198-202 202-206 206-210 210-214
Liczba pomiarów  6  12  26  20  11  5

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej wytrzymałości na ściskanie tej partii betonu na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie y = y(t) zagadnienia

y′′+y′−2y = 18te^{t}

y(0) = 0
y′(0) = 1 .

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 21.09.2004 Matematyka z informatyką

Zadanie 1. (8 punktów)

W pliku a.cpp jest źródło programu:

#include ¡stdlib.h¿ #include ¡stdio.h¿

int main() –

int m,n,M,N;

M = m = 21;

N = n = 6;

for(int k=n%m ; k ; n=m,m=k,k=n%m)

; printf(”“nWynik: %i“n”,N*M/m); return 0;

˝

Wykonujemy następujące komendy (gcc version 2.95.4):

gcc -Wall a.cpp -o a ./a

Opisać, co pojawi się na ekranie komputera.

Zadanie 2. (8 punktów)

Dla liczby x ∈ ℝ, x ≠ 0 i jej komputerowej reprezentacji x̄ wielkość

ε_{x} = \frac{x̄−x}{x}

nazywamy błędem względnym wartości x̄. Wykazać równość:

ε_{x+y} = \frac{x}{x+y} ε_{x}+ \frac{y}{x+y} ε_{y},

gdzie x ≠ 0, y ≠ 0 i x+y ≠ 0.

Zadanie 3. (8 punktów)

Niech funkcja f ∈ C^{3}[−1,1] ma ciągłą trzecią pochodną. Jak należy wybrać x_{0},x_{1},x_{2} ∈ [−1,1], aby dla wielomianu interpolacyjnego p = p(x) stopnia co najwyżej dwa, spełniającego f(x_{i}) = p(x_{i}), i = 0,1,2 oraz dla dowolnej liczby x ∈ [−1,1] zachodziła nierówność

|f(x)−p(x)| \frac{1}{2^{2}3!} max_{−1 t 1} |f′′′(t)| ?

Zadanie 4. (8 punktów)

Przyjmujemy, że wytrzymałość betonu ma rozkład normalny ze średnią wytrzymałością na ściskanie równą 203x10^{5}N/m^{2}. W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnej partii betonu, która wedle zapewnień producenta ma większa wytrzymałość na ściskanie niż przeciętna, dokonano n = 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu otrzymując następujące wyniki (w 10^{5}N/m^{2}):

Wytrzymałość 190-194 194-198 198-202 202-206 206-210 210-214
Liczba pomiarów  6  12  26  20  11  5

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej wytrzymałości na ściskanie tej partii betonu na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie y = y(t) zagadnienia

y′′+y′−2y = 18te^{t}

y(0) = 0
y′(0) = 1 .

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 21.09.2004 Matematyka nauczycielska

Zadanie 1. (8 punktów) Wyznaczyć \underline{wszystkie} liczby naturalne p, p > 1, dla których prawdziwe jest stwier-

dzenie:

Liczba jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr w systemie pozycyjnym o podstawie p jest podzielna przez 3.

Zadanie 2. (8 punktów) Uzasadnić, że wykres funkcji y = x^{2}−5x+6 jest miejscem geometrycznym punktów

równo odległych od pewnego punktu (ogniska) F i prostej (kierownicy) l.

Zadanie 3. (8 punktów) Niech dany będzie prostopadłościan, którego krawędzie mają długości a, a i 2a. Niech

A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8} będą rzutami prostopadłymi wierzchołków tego prostopadłościanu na jego przekątną. Jakie są odległości punktów A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8} od końców rozważanej przekątnej?

Zadanie 4. (8 punktów)

Przyjmujemy, że wytrzymałość betonu ma rozkład normalny ze średnią wytrzymałością na ściskanie równą 203x10^{5}N/m^{2}. W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnej partii betonu, która wedle zapewnień producenta ma większa wytrzymałość na ściskanie niż przeciętna, dokonano n = 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu otrzymując następujące wyniki (w 10^{5}N/m^{2}):

Wytrzymałość 190-194 194-198 198-202 202-206 206-210 210-214
Liczba pomiarów  6  12  26  20  11  5

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,99 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej wytrzymałości na ściskanie tej partii betonu na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie y = y(t) zagadnienia

y′′+y′−2y = 18te^{t}

y(0) = 0
y′(0) = 1 .

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 21.09.2004 Matematyka teoretyczna

Zadanie 1. (10 punktów) Niech A,B ∈ M_{n×n} (ℝ) będą dodatnio określonymi symetrycznymi macierzami o wyra-

zach rzeczywistych. Uzasadnić, że wszystkie wartości własne macierzy AB są rzeczywiste i dodatnie.

Zadanie 2. (10 punktów) Rozważamy operator L, który funkcji f : ℝ→ ℝ przyporządkowuje funkcję

Lf(x) = x·f(x). Niech L^{1} = {f : ℝ→ ℝ; _{ℝ}^{∫}|f(x)|dx < ∞} oraz L_{x}^{1} = {f ∈ L^{1} ; Lf ∈ L^{1}}.

Uzasadnić, że A. L_{x}^{1} jest właściwą i gęstą podprzestrzenią w L^{1} B. operator L: L_{x}^{1} → L^{1} nie jest ciągły względem normy L^{1}.

Zadanie 3. (10 punktów) Uzasadnić, że rodzina wszystkich przeliczalnych podzbiorów (skończonych i nieskoń-

czonych) zbioru mocy continuum ma moc continuum.

Zadanie 4. (10 punktów) Uzasadnić, że całka nieoznaczona z rzeczywistej funkcji ciągłej nieparzystej jest funk-

cją parzystą.

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 21.09.2004 Zastosowania

Zadanie 1. (8 punktów)

Niech {B(t) ; t 0} będzie standardowym ruchem Browna i niech T > 0 będzie stałą. Znaleźć wszystkie a > 0 takie, że proces {W_{a}(t) ; t 0} określony jako

W_{a}(t) = \{ \begin{matrix}B(t) & dla t T \\ aB(T)−B(t) & dla t > T \end{matrix}

jest standardowym ruchem Browna.

Zadanie 2. (8 punktów)

Niech {X_{n}}, {Y_{n}} będą wzajemnie niezależnymi ciągami niezależnych zmiennych losowych o rozkładach odpowiednio

P (X_{n} = 1) = P (X_{n} = −1) = 1/2

oraz

P (Y_{n} = 2) = P (Y_{n} = −2) = 1/2 .

Zbadać zbieżność według rozkładu dla a)

\frac{∑ _{i=1}^{n} X_{i} + ∑ _{i=1}^{n} Y_{i}}{\sqrt{n}} ,

gdy n → ∞. b)

\frac{∑ _{i=1}^{n} X_{i} − ∑ _{i=1}^{n} Y_{i}}{\sqrt{n}log(n)} ,

gdy n → ∞.

Zadanie 3. (8 punktów)

Niech (X_{1},...,X_{n}) będzie próbą rozmiaru n z rozkładu o gęstości względem miary Lebesgue’a postaci

f(x;θ) = θexp(−θx)1_{(0,∞)} (x),

θ > 0. Znaleźć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ. Odpowiedź uzasadnić cytując odpowiednie twierdzenia.

Zadanie 4. (8 punktów) Niech {N(t) ; t 0} będzie procesem Poissona z intensywnością λ > 0. Wykazać, że

dla dowolnego t 0 i pewnej funkcji Ψ zachodzi równość

Eexp(iθN(t)) = exp(tΨ(θ))

oraz podać postać funkcji Ψ.

Zadanie 5. (8 punktów) Znajdź rozwiązanie y = y(t) zagadnienia

y′′+y′−2y = 18te^{t}

y(0) = 0
y′(0) = 1 .