EGZAMIN DYPLOMOWY, część II 26.06.2004

Biomatematyka

Zadanie 1. (8 punktów)

Rozważmy populację, która znajduje się w warunkach równowagi Hardy’ego-Wein-berga. Wiemy, ze częstość allelu a dla locus o dwu możliwych alleleach, A i a, wynosi w tej populacji 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje rodzice osobnika o genotypie aa pochodzący z tej populacji są również genotypu aa?

Zadanie 2. (8 punktów)

Przyjmijmy, ze mutacje nukleotydów w DNA następują zgodnie z modelem Jukes- -Cantora z parametrem mutacji α = 0,05, a wiec substytucje nukleotydów opisane są przez łańcuch Markowa o macierzy przejść w jednym kroku postaci

[ \begin{matrix}0,85 & 0,05 & 0,05 & 0,05 \\ 0,05 & 0,85 & 0,05 & 0,05 \\ 0,05 & 0,05 & 0,85 & 0,05 \\ 0,05 & 0,05 & 0,05 & 0,85 \end{matrix} ]

Jaką frakcję poszczególnych nukleotydów będziemy obserwować, w tak ewoluującym DNA , po upływie długiego czasu?

Zadanie 3. (8 punktów)

Rzucamy trzy razy symetryczną koscią do gry. Jeśli wypandnie k razy parzysta liczba oczek, to wygrywamy 2k złotych, gdzie k = 0,1,2,3. Ile powinna wynosić opłata za grę, aby gra była sprawiedliwa, tzn. wartość oczekiwana wygranej była równa zeru.

Zadanie 4. (8 punktów)

Zakażenie E. canis jest chorobą psów przenoszoną przez kleszcze, która czasami atakuje ludzi. U zakażonych tą chorobą ludzi rozkład liczby białych ciałek krwi posiada nieznaną średnia μ i odchylenie standardowe σ. W całej populacji średnia liczba białych krwinek jest równa 7250/mm^{3}. Sądzi się, że ludzie zakażeni przez E. canis powinni w średniej mieć obniżoną liczbę białych ciałek krwi. Dla próby 15 elementowej zakażonych ludzi, średnia liczba białych ciałek krwi jest równa x̄= 4767/mm^{3} a odchylenie standardowe s = 3204/mm^{3}.

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej liczby białych ciałek krwi w populacji ludzi zakażonych na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów) Znajdź rozwiązanie układu równań różniczkowych

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

z warunkiem początkowym

( \begin{matrix}x(0) \\ y(0) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) .

Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Zadanie 1. (8 punktów)

Według kierownika 24-godzinnej restauracji zapotrzebowanie na liczbę osób personelu w poszczególnych okresach doby przedstawia się następująco: w godzinach 3.00 – 7.00 : 2 osoby, w godzinach 7.00 – 11.00 : 10 osób, w godzinach 11.00 – 15.00 : 14 osób, w godzinach 15.00 – 19.00 : 8 osób, w godzinach 19.00 – 23.00 : 10 osób, w godzinach 23.00 – 3.00 : 3 osoby. Każda z osób obsługujących klientów pracuje 8 godzin. Zadaniem kierownika jest ustalenie liczby osób personelu rozpoczynających pracę na początku wyżej wymienionych okresów tak, by potrzeby były zaspokojone, a całkowita liczba osób obsługujących klientów w ciągu doby minimalna.

Ułóż odpowiednie zadanie programowania liniowego i sprawdź, czy jego rozwiązanie dopuszczalne x = (0,14,0,8,2,2) jest także optymalne.

Zadanie 2. (8 punktów)

Załóżmy, że funkcja przeżycia wyraża się wzorem s(x) = P (T > x) = 1− \frac{x}{110} dla x ∈ [0,110].

1) Obliczyć _{3}p_{30}.

2) Wyznaczyć JSN dla czystego ubezpieczenia na dożycie na 2 lata dla osoby w wieku 50 lat. Przyjąć stopę procentową i = 10%.

Zadanie 3. (8 punktów)

Załóżmy, że niezależne szkody X_{i}, i 1 (X_{0} = 0) mają rozkład równomierny na zbiorze {0,2,4}. Niech ilość szkód N ma rozkład Poissona z parametrem 2 oraz S = ∑ _{0}^{N} X_{i}.

1) Obliczyć P (S = 0).

2) Obliczyć ES.

Zadanie 4. (8 punktów)

Zakażenie E. canis jest chorobą psów przenoszoną przez kleszcze, która czasami atakuje ludzi. U zakażonych tą chorobą ludzi rozkład liczby białych ciałek krwi posiada nieznaną średnia μ i odchylenie standardowe σ. W całej populacji średnia liczba białych krwinek jest równa 7250/mm^{3}. Sądzi się, że ludzie zakażeni przez E. canis powinni w średniej mieć obniżoną liczbę białych ciałek krwi. Dla próby 15 elementowej zakażonych ludzi, średnia liczba białych ciałek krwi jest równa x̄= 4767/mm^{3} a odchylenie standardowe s = 3204/mm^{3}.

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej liczby białych ciałek krwi w populacji ludzi zakażonych na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie układu równań różniczkowych

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

z warunkiem początkowym

( \begin{matrix}x(0) \\ y(0) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) .

Matematyka z informatyką

Zadanie 1. (8 punktów) Mamy dwa bardzo podobne do siebie programy:

// program A

#include ¡stdio.h¿ #include ¡malloc.h¿

void ProcA(int *n) – n = (int *)malloc(sizeof(int)); *n = 5;

˝

int main() – int *i,j;

j = 7; i = &j; ProcA(i); printf(”A: %i“n“n”,*i); free(i); return 0;

˝ // program B

#include ¡stdio.h¿ #include ¡malloc.h¿

void ProcB(int **n) – *n = (int *)malloc(sizeof(int)); **n = 5;

˝

int main() – int *i,j;

j = 7; i = &j; ProcB(&i); printf(”B: %i“n“n”,*i); free(i); return 0;

˝

Pytania:

(a) Czy uda się ich obu kompilacja?

(b) Jaki będzie ich wynik działania – co zostanie wyświetlone? O ile są formalnie poprawne!

(c) Przedyskutować działanie funkcji: void ProcA(int *n) i void ProcB(int **n). Czy działanie każdej z nich ma to samo znaczenie w programie, w którym jest użyta?

(d) Czy użycie funkcji free(i) w obu programach jest poprawne?

Zadanie 2. (8 punktów) W komputerach IBM PC obliczanie odwrotności \frac{1}{a} liczby a > 0 odbywa się iteracyjnie:

x_{n+1} = x_{n} +(1−ax_{n})x_{n}.

Dobierając odpowiednio funkcję y = f(x), dla której f(\frac{1}{a}) = 0 wykazać, że podany ciąg jest z metody Newtona. Uzasadnić, dlaczego dla dowolnego punktu startowego x_{0} > 0 ciąg ten jest zbieżny.

Zadanie 3. (8 punktów)

Niech T_{n}(x), n = 0,1,2,... będzie ciągiem wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju

T_{n}(x) = \{ \begin{matrix}1, & n = 0 \\ x, & n = 1 \\ 2xT_{n−1} (x)−T_{n−2} (x), & 1 < n \end{matrix}

Wykazać, że dla n ≠ m zachodzi

∫_{−1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x) \frac{dx}{\sqrt{1−x^{2}}} = 0.

Zadanie 4. (8 punktów)

Zakażenie E. canis jest chorobą psów przenoszoną przez kleszcze, która czasami atakuje ludzi. U zakażonych tą chorobą ludzi rozkład liczby białych ciałek krwi posiada nieznaną średnia μ i odchylenie standardowe σ. W całej populacji średnia liczba białych krwinek jest równa 7250/mm^{3}. Sądzi się, że ludzie zakażeni przez E. canis powinni w średniej mieć obniżoną liczbę białych ciałek krwi. Dla próby 15 elementowej zakażonych ludzi, średnia liczba białych ciałek krwi jest równa x̄= 4767/mm^{3} a odchylenie standardowe s = 3204/mm^{3}.

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej liczby białych ciałek krwi w populacji ludzi zakażonych na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie układu równań różniczkowych

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

z warunkiem początkowym

( \begin{matrix}x(0) \\ y(0) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) .

Matematyka nauczycielska

Zadanie 1. (8 punktów)

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania w liczbach naturalnych x,y układu równań

\{ \begin{matrix}NWD(x,y) & = & 10 \\ NWW(x,y) & = & 600^{n} \end{matrix}

w zależności od wartości parametru naturalnego n, n 1 .

Zadanie 2. (8 punktów)

W trójkącieABC dwusieczne kątów α i β przecinają przeciwległe boki w punktach K i L (odpowiednio). Niech P_{1} = pole ΔABK, P_{2} = pole ΔACK, P_{3} = pole ΔBAL,

P_{4} = pole ΔBCL. Znając stosunki pól: \frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{3}{4}, \frac{P_{3}}{P_{4}} = \frac{3}{2}, obliczyć cosinus kąta α.

Zadanie 3. (8 punktów)

W (dowolnym) czworościanie ABCD środki ciężkości jego ścian wyznaczają czworościan P QRS. Wyznaczyć stosunek pól powierzchni tych czworościanów.

Zadanie 4. (8 punktów)

Zakażenie E. canis jest chorobą psów przenoszoną przez kleszcze, która czasami atakuje ludzi. U zakażonych tą chorobą ludzi rozkład liczby białych ciałek krwi posiada nieznaną średnia μ i odchylenie standardowe σ. W całej populacji średnia liczba białych krwinek jest równa 7250/mm^{3}. Sądzi się, że ludzie zakażeni przez E. canis powinni w średniej mieć obniżoną liczbę białych ciałek krwi. Dla próby 15 elementowej zakażonych ludzi, średnia liczba białych ciałek krwi jest równa x̄= 4767/mm^{3} a odchylenie standardowe s = 3204/mm^{3}.

(a) Skonstruuj przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla średniej.

(b) Przeprowadź test dotyczący średniej liczby białych ciałek krwi w populacji ludzi zakażonych na poziomie istotności α = 0,05.

(c) Jak jest twoja konkluzja po przeprowadzeniu testu?

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

z warunkiem początkowym

( \begin{matrix}x(0) \\ y(0) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) .

Matematyka teoretyczna

Zadanie 1. (10 punktów) Grupa G wektorów na płaszczyźnie o obu współrzędnych całkowitych (z działaniem

dodawania) zawiera podgrupę H składającą się z wektorów o obu współrzędnych parzystych i dających w sumie liczbę podzielną przez 12.

(a) [5 punktów] Znajdź rząd grupy ilorazowej G/H.

(b) [5 punktów] Znajdź rozkład grupy G/H w produkt prosty grup cyklicznych.

Zadanie 2. (10 punktów) Dla dowolnego α > 0 i dowolnego p 1 znajdź normę funkcjonału I_{α} : L^{p}[0,1] → ℝ

zadanego wzorem

I_{α}(f) = ∫_{0}^{1}x^{α}f(x) dx .

Zadanie 3. (10 punktów) Cząstka bładzi losowo po zbiorze liczb naturalnych (z zerem) zgodnie z następującymi

regułami:

(a) w chwili t = 0 cząstka znajduje się w położeniu x = 0;

(b) w chwilach t = 1,2,... cząstka zmienia położenie z x na x+ 1 z prawdopodobieństwem p, gdzie 0 < p < 1, zaś pozostaje w tym samym położeniu z prawdopodobieństwem 1− p;

(c) w pozostałych chwilach nic się nie dzieje. Niech P_{n}(k) oznacza prawdopodobieństwo, że tuż po chwili t = n cząstka znajduje się

w położeniu x k. Udowodnij, że dla każdego k

lim_{n→∞} P_{n}(k) = 0 .

Zadanie 4. (10 punktów) Wypukły domknięty zbiór K w ℝ^{n} ma n-wymiarową miarę Lebesgue’a V > 0 oraz

spełnia następującą własność: dla każdego kierunku w ℝ^{n} istnieje (n− 1)-wymiarowa hiperpłaszczyzna H prostopadła do tego kierunku taka, że (n− 1)-wymiarowa miara przekroju H ∩K jest nie mniejsza niż S > 0. Uzasadnij, że średnica zbioru K nie przekracza n·(V/S).

Uwaga. Jeśli nie potrafisz w pełnej ogólności, rozwiąż zadanie dla przypadku n = 3, za co otrzymasz do 6 pkt. na 10 możliwych za pełne rozwiązanie.

Zastosowania

Zadanie 1. (8 punktów)

Niech {B_{1}(t);t 0},{B_{2}(t);t 0} będą niezależnymi standardowymi ruchami Browna określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej.

a) Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste a takie, że B(t) = aB_{1}(t)+B_{2}(at) jest standardowym ruchem Browna.

b) Obliczyć P (B_{1}(2004) > 2004B_{2}(1)).

Zadanie 2. (8 punktów)

Niech X_{i}, i 1 będą jednakowo rozłożonymi niezależnymi zmiennymi losowymi o ciągłej dystrybuancie F. Zbadać zbieżność według rozkładu dla

∑_{i=1}^{n} \frac{2F (X_{i})−1}{\sqrt{n}} ,

gdy n → ∞.

Zadanie 3. (8 punktów)

Znaleźć nieobciążony estymator o minimalnej wariancji parametru μ na podstawie n-elementowej próby z populacji, w której badana cecha X ma rozkład N(μ,σ^{2}), μ ∈ R, σ^{2} > 0. Odpowiedź uzasadnić cytując odpowiednie twierdzenia.

Zadanie 4. (8 punktów)

Proces stochastyczny {X(t);t 0} nazywamy stochastycznie ciągłym, gdy dla każdego t_{0} ∈ [0,∞) oraz każdego ε > 0

lim_{t→t_{0}}P (|X(t)−X(t_{0})| > ε) = 0.

a) Czy proces Poissona jest stochastycznie ciągły?

b) Niech {X(t);t 0}, {Y (t);t 0} będą dwoma stochastycznie ciągłymi procesami stochastycznymi określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Czy {X(t)+Y (t);t 0} jest stochastycznie ciągły?

Zadanie 5. (8 punktów)

Znajdź rozwiązanie układu równań różniczkowych

( \begin{matrix}x′ \\ y′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

z warunkiem początkowym

( \begin{matrix}x(0) \\ y(0) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \end{matrix} ) .