EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (zadania otwarte) 22.06.2004

Zadanie 1. (3 punkty) Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{\binom{2n}{n}} .

Zadanie 2. (4 punkty) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y) = 4x^{2}+4xy +y^{2}

na kole

{(x,y) : x^{2}+y^{2} 1}

oraz podać, w których punktach te wartości są osiągane.

Zadanie 3. (3 punkty) Obliczyć całkę

∫_{0}^{1}∫_{2x}^{2}e^{y^{2}} dy dx .

Zadanie 4. (3 punkty) Podać przykład macierzy o wymiarach 3×3, której wielomian charakterystyczny jest

równy −x^{3}+x^{2}, a rząd jest równy 2.

Zadanie 5. (3 punkty) W grupie G dla dowolnych elementów a i b zachodzi równość

aba = bab .

Dowieść, że grupa G jest jednoelementowa.

Zadanie 6. (4 punkty) W urnie znajduje się 100 jednakowych monet prawdziwych i jedna moneta fałszywa.

Możemy podać dowolną liczbę k między 0 i 101 (włączając 0 i 101). Wówczas z urny zostanie wylosowanych k monet. Jeśli wszystkie wylosowane monety okażą się prawdziwe, wygrywamy je. Jeśli natomiast wśród wylosowanych monet znajdzie się moneta fałszywa, nie dostajemy nic.

Jak należy wybrać liczbę k, aby zmaksymalizować wartość oczekiwaną wygranej?