Wersja testu A 22 czerwca 2004r.

1. Czy prawdą jest, że

a) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} ∀_{t∈ℝ} y +t^{2} > x^{2}+z^{2} ;

b) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} ∀_{t∈ℝ} y +t^{2} > x^{2}+z^{2} ;

c) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} ∀_{t∈ℝ} y +t^{2} > x^{2}+z^{2} ;

d) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} ∀_{t∈ℝ} y +t^{2} > x^{2}+z^{2} ?

2. Niech (a_{n}) będzie ciągiem określonym wzorem a_{n} = (−1)^{n} oraz niech g = 1. Czy wtedy

a) ∃_{ε>0} ∀_{N} ∀_{n>N} |a_{n} −g| < ε;

b) ∃_{ε>0} ∀_{N} ∃_{n>N} |a_{n} −g| < ε;

c) ∀_{ε>0} ∀_{N} ∃_{n>N} |a_{n} −g| < ε;

d) ∀_{ε>0} ∃_{N} ∀_{n>N} |a_{n} −g| < ε?

3. Czy cosx = \frac{1}{2}, jeżeli

a) x = \frac{π}{3} ;

b) x = \frac{2π}{3} ;

c) x = \frac{5π}{3} ;

d) x = \frac{π}{6} ?

4. Czy prawdziwa jest nierówność

a) log_{5}(\sqrt{2}−1) > log_{5}(\sqrt{3}−1) ;

b) log_{π}e > log_{e}π;

c) log_{3}4 > log_{5}8 ;

d) log_{3}2\sqrt{2}> log_{9}7 ?

5. Szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} ma wszystkie wyrazy dodatnie. Czy możemy wywnioskować, że szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest rozbieżny, jeśli wiemy ponadto, że

a) ∀_{n∈ℕ} a_{n} \frac{1}{n\sqrt{n}} ;

b) ∀_{n∈ℕ} a_{n} \frac{1}{\sqrt{n}} ;

c) ciąg (a_{n}) jest zbieżny i lim_{n→∞} a_{n} ∈ ( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) ;

d) ∀_{n∈ℕ} a_{n} \frac{1}{n} ?

6. Czy funkcja f : ℝ → ℝ jest różniczkowalna na całej prostej, jeżeli

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} & dla & x 1 \\ ax+b & dla & x > 1 , \end{matrix}

gdzie

a) a = −1, b = 2 ;

b) a = 2, b = −1 ;

c) a = 1, b = 2 ;

d) a = 2, b = 1 ?

7. O funkcji różniczkowalnej f : ℝ → ℝ wiadomo, że

f′(x)\{ \begin{matrix}> 0 & dla & x ∈ (2,8) \\ = 0 & dla & x ∈ \{2,8\} \\ < 0 & dla & x ∈ (−∞,2)∪(8,∞) . \end{matrix}

Czy stąd wynika, że

a) f(−50) > f(50) ;

b) f(1) < f(8) ;

c) f(−100) > f(0) ;

d) f(3) < f(7) ?

8. Czy dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x,y zachodzi nierówność

a) x^{2}y^{2} x^{3}+y^{3} ;

b) xy^{2} x^{3}+y^{3} ;

c) xy x^{2}+y^{2} ;

d) x^{2}y^{3} x^{6}+y^{6} ?

9. Czy podana funkcja ma lokalne minimum w punkcie (0,0)

a) f(x,y) = x^{2}+7xy −13y^{2} ;

b) f(x,y) = x^{2}+7xy +12y^{2} ;

c) f(x,y) = x^{2}+7xy +13y^{2} ;

d) f(x,y) = x^{2}−7xy +13y^{2} ?

10. Czy liczba 1 jest elementem zbioru

a) {cosx: x ∈ (0,6)};

b) {arctgx: x ∈ ℝ};

c) {lnx: x ∈ (0,∞)};

d) {e^{x} : x ∈ ℝ}?

11. Czy podany zbiór z działaniem jest grupą

a) {0, 2, 4, 6} z mnożeniem modulo 8 ;

b) {0, 2, 4, 6} z dodawaniem modulo 8 ;

c) {0, 2, 4, 6} z dodawaniem modulo 7 ;

d) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} z mnożeniem modulo 7 ?

12. Czy podany zbiór jest podpierścieniem pierścienia wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych

a) zbiór wielomianów stopnia nie większego niż 6 ;

b) zbiór wielomianów będących funkcjami nieparzystymi ;

c) zbiór wielomianów stopnia nie większego niż 5 ;

d) zbiór wielomianów będących funkcjami parzystymi ?

13. Macierz kwadratowa A o wymiarach 2×2 ma wszystkie wyrazy całkowite, a jej wyznacznik jest równy −17. Czy na podstawie tych informacji możemy z całą pewnością stwierdzić, że

a) co najmniej jeden wyraz macierzy A jest ujemny ;

b) co najmniej jeden wyraz macierzy A jest nieparzysty ;

c) co najmniej jeden wyraz macierzy A jest parzysty ;

d) co najmniej jeden wyraz macierzy A jest różny od zera ?

14. Dany jest układ trzech równań liniowych jednorodnych z trzema niewiadomymi x,y,z. Wiadomo, że jednym z równań układu jest równanie

x+y +z = 0

oraz że trójka (x,y,z) = (1,−1,0) jest rozwiązaniem danego układu. Czy stąd wynika, że

a) trójka (x,y,z) = (3,−2,−1) nie jest rozwiązaniem układu równań ;

b) trójka (x,y,z) = (2,−1,−1) jest rozwiązaniem układu równań ;

c) trójka (x,y,z) = (3,−3,0) jest rozwiązaniem układu równań ;

d) trójka (x,y,z) = (3,−2,1) nie jest rozwiązaniem układu równań ?

15. Czy jedną z wartości własnych macierzy ( \begin{matrix}0 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) jest

liczba

a) −1 ;

b) 1 ;

c) 3 ;

d) −2 ?

16. Czy zbiór rozwiązań zespolonych z podanego równania jest okręgiem

a) z +\overline{z} = z\overline{z}+3 ;

b) z +\overline{z} = 3 ;

c) z\overline{z} = z +\overline{z}+3 ;

d) z\overline{z} = 3 ?

17. Czy w grupie cyklicznej ℤ_{n} (zbiór {0,1,2,...,n− 1} z dodawaniem modulo n) liczba 6 jest elementem rzędu n, jeżeli

a) n = 30 ;

b) n = 45 ;

c) n = 40 ;

d) n = 35 ?

18. Losujemy liczbę k ze zbioru {1,2,...,n}, a następnie liczbę ℓ ze zbioru {1,2,...,k}. Niech E_{n} będzie wartością oczekiwaną liczby ℓ. Czy wtedy

a) E_{2} = 3/2 ;

b) E_{5} = 2 ;

c) E_{4} = 7/4 ;

d) E_{3} = 2 ?

19. Wykonano n rzutów kostką do gry. Niech E_{n} będzie wartością oczekiwaną sumy liczb oczek wyrzuconych we wszystkich rzutach. Czy wtedy

a) E_{2} < 8 ;

b) E_{1} < 5 ;

c) E_{4} > 14 ;

d) E_{3} > 10 ?

20. Rzucamy 3 razy fałszywą monetą, w której orzeł wypada z prawdopodobieństwem 2/3, a reszka z prawdopodobieństwem 1/3. Niech p_{k} będzie prawdopodobieństwem, że wypadło dokładnie k orłów. Czy wtedy

a) p_{3} < 1/3 ;

b) p_{0} < 1/9 ;

c) p_{2} < 4/9 ;

d) p_{1} < 2/9 ?