EGZAMIN DYPLOMOWY (BI), część II, 26.09.2003, 11.00-13.00

Zadanie 1. (10 punktów)

Rozpatrzmy populacje ludzką, w której liczba kobiet jest równa liczbie mężczyzn. W populacji tej obserwujemy gen o dwóch allelach A i a ulokowany na chromosomie X. Oznaczmy odpowiednio przez K_{n} i M_{n} częstość allelu A wśród kobiet oraz mężczyzn w n-tym pokoleniu. Przyjmując założenie o losowym kojarzeniu i segregacji pokoleń oraz, że początkowe częstości allelu A wynoszą odpowiednio K_{0} = α i M_{0} = β, obliczyć granicę

lim_{n→∞} \frac{K_{n}}{M_{n}} .

Zadanie 2. (10 punktów)

Rozpatrzy nić DNA o długści N nukleotydów, w której poszczególne nukleotydy pojawiaja się losowo. Przyjmijmy założenie, o niezależności i jednakowości rozkładu pojawiania się nukleotydów w nici. Tak więc każdy z nukleotydów może pojawić się w wybranym miejscu nici z prawdopodobieństwem 0,25 niezależnie od sposobu obsadzenia pozostałych miejsc. Niech Y_{N} oznacza liczbę pojawień sie ciagu gaga w rozpatrywanej nici. Ciągi mogą na siebie zachodzić, tak więc jeśli rozpatrujemy, przykładowo, nić postaci

tatgagagatccgaga

to liczebność ciagu gaga w tym przypadku wynosi 3.

(a) Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y_{N}.

(b) Obliczyć wariancję zmiennej losowej Y_{N}.

Zadanie 3. (10 punktów)

Zapytano 100 osób, czy chcieliby spędzać wakacje w górach. 49 osób spośród nich odpowiedziało ’TAK’. Oblicz przedział ufności dla prawdopodobieństwa odpowiedzi ’TAK’ na to pytanie na poziomie istotności 0.99. Skorzystać z odpowiedniego przybliżenia rozkładem normalnym oraz z podanej tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

Rozkład normalny; Φ(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{t} e^{−x^{2}/2} dx

\begin{matrix}t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) \\ 0 & 0,5000 & 0,4 & 0,6554 & 0,8 & 0,7881 & 1,2 & 0,8849 & 1,6 & 0,9452 \\ 0,01 & 0,5040 & 0,41 & 0,6591 & 0,81 & 0,7910 & 1,21 & 0,8869 & 1,61 & 0,9463 \\ 0,02 & 0,5080 & 0,42 & 0,6628 & 0,82 & 0,7939 & 1,22 & 0,8888 & 1,62 & 0,9474 \\ 0,03 & 0,5120 & 0,43 & 0,6664 & 0,83 & 0,7967 & 1,23 & 0,8907 & 1,63 & 0,9484 \\ 0,04 & 0,5160 & 0,44 & 0,6700 & 0,84 & 0,7995 & 1,24 & 0,8925 & 1,64 & 0,9495 \\ 0,05 & 0,5199 & 0,45 & 0,6736 & 0,85 & 0,8023 & 1,25 & 0,8944 & 1,65 & 0,9505 \\ 0,06 & 0,5239 & 0,46 & 0,6772 & 0,86 & 0,8051 & 1,26 & 0,8962 & 1,66 & 0,9515 \\ 0,07 & 0,5279 & 0,47 & 0,6808 & 0,87 & 0,8078 & 1,27 & 0,8980 & 1,67 & 0,9525 \\ 0,08 & 0,5319 & 0,48 & 0,6844 & 0,88 & 0,8106 & 1,28 & 0,8997 & 1,68 & 0,9535 \\ 0,09 & 0,5359 & 0,49 & 0,6879 & 0,89 & 0,8133 & 1,29 & 0,9015 & 1,69 & 0,9545 \\ 0,1 & 0,5398 & 0,5 & 0,6915 & 0,9 & 0,8159 & 1,3 & 0,9032 & 1,7 & 0,9554 \\ 0,11 & 0,5438 & 0,51 & 0,6950 & 0,91 & 0,8186 & 1,31 & 0,9049 & 1,71 & 0,9564 \\ 0,12 & 0,5478 & 0,52 & 0,6985 & 0,92 & 0,8212 & 1,32 & 0,9066 & 1,72 & 0,9573 \\ 0,13 & 0,5517 & 0,53 & 0,7019 & 0,93 & 0,8238 & 1,33 & 0,9082 & 1,73 & 0,9582 \\ 0,14 & 0,5557 & 0,54 & 0,7054 & 0,94 & 0,8264 & 1,34 & 0,9099 & 1,74 & 0,9591 \\ 0,15 & 0,5596 & 0,55 & 0,7088 & 0,95 & 0,8289 & 1,35 & 0,9115 & 1,75 & 0,9599 \\ 0,16 & 0,5636 & 0,56 & 0,7123 & 0,96 & 0,8315 & 1,36 & 0,9131 & 1,76 & 0,9608 \\ 0,17 & 0,5675 & 0,57 & 0,7157 & 0,97 & 0,8340 & 1,37 & 0,9147 & 1,77 & 0,9616 \\ 0,18 & 0,5714 & 0,58 & 0,7190 & 0,98 & 0,8365 & 1,38 & 0,9162 & 1,78 & 0,9625 \\ 0,19 & 0,5753 & 0,59 & 0,7224 & 0,99 & 0,8389 & 1,39 & 0,9177 & 1,79 & 0,9633 \\ 0,2 & 0,5793 & 0,6 & 0,7257 & 1 & 0,8413 & 1,4 & 0,9192 & 1,8 & 0,9641 \\ 0,21 & 0,5832 & 0,61 & 0,7291 & 1,01 & 0,8438 & 1,41 & 0,9207 & 1,81 & 0,9649 \\ 0,22 & 0,5871 & 0,62 & 0,7324 & 1,02 & 0,8461 & 1,42 & 0,9222 & 1,82 & 0,9656 \\ 0,23 & 0,5910 & 0,63 & 0,7357 & 1,03 & 0,8485 & 1,43 & 0,9236 & 1,83 & 0,9664 \\ 0,24 & 0,5948 & 0,64 & 0,7389 & 1,04 & 0,8508 & 1,44 & 0,9251 & 1,84 & 0,9671 \\ 0,25 & 0,5987 & 0,65 & 0,7422 & 1,05 & 0,8531 & 1,45 & 0,9265 & 1,85 & 0,9678 \\ 0,26 & 0,6026 & 0,66 & 0,7454 & 1,06 & 0,8554 & 1,46 & 0,9279 & 1,86 & 0,9686 \\ 0,27 & 0,6064 & 0,67 & 0,7486 & 1,07 & 0,8577 & 1,47 & 0,9292 & 1,87 & 0,9693 \\ 0,28 & 0,6103 & 0,68 & 0,7517 & 1,08 & 0,8599 & 1,48 & 0,9306 & 1,88 & 0,9699 \\ 0,29 & 0,6141 & 0,69 & 0,7549 & 1,09 & 0,8621 & 1,49 & 0,9319 & 1,89 & 0,9706 \\ 0,3 & 0,6179 & 0,7 & 0,7580 & 1,1 & 0,8643 & 1,5 & 0,9332 & 1,9 & 0,9713 \\ 0,31 & 0,6217 & 0,71 & 0,7611 & 1,11 & 0,8665 & 1,51 & 0,9345 & 1,91 & 0,9719 \\ 0,32 & 0,6255 & 0,72 & 0,7642 & 1,12 & 0,8686 & 1,52 & 0,9357 & 1,92 & 0,9726 \\ 0,33 & 0,6293 & 0,73 & 0,7673 & 1,13 & 0,8708 & 1,53 & 0,9370 & 1,93 & 0,9732 \\ 0,34 & 0,6331 & 0,74 & 0,7704 & 1,14 & 0,8729 & 1,54 & 0,9382 & 1,94 & 0,9738 \\ 0,35 & 0,6368 & 0,75 & 0,7734 & 1,15 & 0,8749 & 1,55 & 0,9394 & 1,95 & 0,9744 \\ 0,36 & 0,6406 & 0,76 & 0,7764 & 1,16 & 0,8770 & 1,56 & 0,9406 & 1,96 & 0,9750 \\ 0,37 & 0,6443 & 0,77 & 0,7794 & 1,17 & 0,8790 & 1,57 & 0,9418 & 1,97 & 0,9756 \\ 0,38 & 0,6480 & 0,78 & 0,7823 & 1,18 & 0,8810 & 1,58 & 0,9429 & 1,98 & 0,9761 \\ 0,39 & 0,6517 & 0,79 & 0,7852 & 1,19 & 0,8830 & 1,59 & 0,9441 & 1,99 & 0,9767 \end{matrix}

Zadanie 4. (10 punktów) Podaj ogólne rozwiązanie następującego układu równań różniczkowych

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & y \\ \frac{dy}{dt} & = & 2y −2x \end{matrix} .

EGZAMIN DYPLOMOWY (EK), część II, 26.09.2003, 11.00-13.00

Zadanie 1. (10 punktów)

Dane jest następujące zagadnienie programowania liniowego: Zminimalizować

3x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+x_{4}+3x_{5}

przy ograniczeniach

−x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} − 2x_{5}  8
2x_{1} − x_{2}  − 3x_{4} + 5x_{5}  10
−2x_{1}  + 2x_{3} + 3x_{4}  5
x_{i} 0

(a) sprawdź, czy wektor x^{0} = (0,0,4,0,2) jest optymalnym rozwiązaniem tego zagadnienia;

(b) znajdź optymalną wartość funkcji celu.

Zadanie 2. (10 punktów)

Zakładamy prawo de Moivre’a przeżycia dla (x)-latka z ω −x = 4, gdzie ω oznacza maksymalną długość życia oraz natężenie oprocentowania δ = 0.05. Niech T_{x} oznacza przyszły czas życia x-latka oraz K_{x} będzie jego obciętym przyszłym czasem życia.

a) Jakie wartości przyjmuje K_{x}? Napisać, ile wynosi _{2}p_{x}, Pr(K_{x} = i) oraz e_{x}.

b) Obliczyć JSN dla ubezpieczenia na dożycie Ā_{x:2}. Wiadomo, że e^{−0.1} = 0.90484.

Zadanie 3. (10 punktów)

Zapytano 100 osób, czy chcieliby spędzać wakacje w górach. 49 osób spośród nich odpowiedziało ’TAK’. Oblicz przedział ufności dla prawdopodobieństwa odpowiedzi ’TAK’ na to pytanie na poziomie istotności 0.99. Skorzystać z odpowiedniego przybliżenia rozkładem normalnym oraz z podanej tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

Rozkład normalny; Φ(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{t} e^{−x^{2}/2} dx

\begin{matrix}t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) \\ 0 & 0,5000 & 0,4 & 0,6554 & 0,8 & 0,7881 & 1,2 & 0,8849 & 1,6 & 0,9452 \\ 0,01 & 0,5040 & 0,41 & 0,6591 & 0,81 & 0,7910 & 1,21 & 0,8869 & 1,61 & 0,9463 \\ 0,02 & 0,5080 & 0,42 & 0,6628 & 0,82 & 0,7939 & 1,22 & 0,8888 & 1,62 & 0,9474 \\ 0,03 & 0,5120 & 0,43 & 0,6664 & 0,83 & 0,7967 & 1,23 & 0,8907 & 1,63 & 0,9484 \\ 0,04 & 0,5160 & 0,44 & 0,6700 & 0,84 & 0,7995 & 1,24 & 0,8925 & 1,64 & 0,9495 \\ 0,05 & 0,5199 & 0,45 & 0,6736 & 0,85 & 0,8023 & 1,25 & 0,8944 & 1,65 & 0,9505 \\ 0,06 & 0,5239 & 0,46 & 0,6772 & 0,86 & 0,8051 & 1,26 & 0,8962 & 1,66 & 0,9515 \\ 0,07 & 0,5279 & 0,47 & 0,6808 & 0,87 & 0,8078 & 1,27 & 0,8980 & 1,67 & 0,9525 \\ 0,08 & 0,5319 & 0,48 & 0,6844 & 0,88 & 0,8106 & 1,28 & 0,8997 & 1,68 & 0,9535 \\ 0,09 & 0,5359 & 0,49 & 0,6879 & 0,89 & 0,8133 & 1,29 & 0,9015 & 1,69 & 0,9545 \\ 0,1 & 0,5398 & 0,5 & 0,6915 & 0,9 & 0,8159 & 1,3 & 0,9032 & 1,7 & 0,9554 \\ 0,11 & 0,5438 & 0,51 & 0,6950 & 0,91 & 0,8186 & 1,31 & 0,9049 & 1,71 & 0,9564 \\ 0,12 & 0,5478 & 0,52 & 0,6985 & 0,92 & 0,8212 & 1,32 & 0,9066 & 1,72 & 0,9573 \\ 0,13 & 0,5517 & 0,53 & 0,7019 & 0,93 & 0,8238 & 1,33 & 0,9082 & 1,73 & 0,9582 \\ 0,14 & 0,5557 & 0,54 & 0,7054 & 0,94 & 0,8264 & 1,34 & 0,9099 & 1,74 & 0,9591 \\ 0,15 & 0,5596 & 0,55 & 0,7088 & 0,95 & 0,8289 & 1,35 & 0,9115 & 1,75 & 0,9599 \\ 0,16 & 0,5636 & 0,56 & 0,7123 & 0,96 & 0,8315 & 1,36 & 0,9131 & 1,76 & 0,9608 \\ 0,17 & 0,5675 & 0,57 & 0,7157 & 0,97 & 0,8340 & 1,37 & 0,9147 & 1,77 & 0,9616 \\ 0,18 & 0,5714 & 0,58 & 0,7190 & 0,98 & 0,8365 & 1,38 & 0,9162 & 1,78 & 0,9625 \\ 0,19 & 0,5753 & 0,59 & 0,7224 & 0,99 & 0,8389 & 1,39 & 0,9177 & 1,79 & 0,9633 \\ 0,2 & 0,5793 & 0,6 & 0,7257 & 1 & 0,8413 & 1,4 & 0,9192 & 1,8 & 0,9641 \\ 0,21 & 0,5832 & 0,61 & 0,7291 & 1,01 & 0,8438 & 1,41 & 0,9207 & 1,81 & 0,9649 \\ 0,22 & 0,5871 & 0,62 & 0,7324 & 1,02 & 0,8461 & 1,42 & 0,9222 & 1,82 & 0,9656 \\ 0,23 & 0,5910 & 0,63 & 0,7357 & 1,03 & 0,8485 & 1,43 & 0,9236 & 1,83 & 0,9664 \\ 0,24 & 0,5948 & 0,64 & 0,7389 & 1,04 & 0,8508 & 1,44 & 0,9251 & 1,84 & 0,9671 \\ 0,25 & 0,5987 & 0,65 & 0,7422 & 1,05 & 0,8531 & 1,45 & 0,9265 & 1,85 & 0,9678 \\ 0,26 & 0,6026 & 0,66 & 0,7454 & 1,06 & 0,8554 & 1,46 & 0,9279 & 1,86 & 0,9686 \\ 0,27 & 0,6064 & 0,67 & 0,7486 & 1,07 & 0,8577 & 1,47 & 0,9292 & 1,87 & 0,9693 \\ 0,28 & 0,6103 & 0,68 & 0,7517 & 1,08 & 0,8599 & 1,48 & 0,9306 & 1,88 & 0,9699 \\ 0,29 & 0,6141 & 0,69 & 0,7549 & 1,09 & 0,8621 & 1,49 & 0,9319 & 1,89 & 0,9706 \\ 0,3 & 0,6179 & 0,7 & 0,7580 & 1,1 & 0,8643 & 1,5 & 0,9332 & 1,9 & 0,9713 \\ 0,31 & 0,6217 & 0,71 & 0,7611 & 1,11 & 0,8665 & 1,51 & 0,9345 & 1,91 & 0,9719 \\ 0,32 & 0,6255 & 0,72 & 0,7642 & 1,12 & 0,8686 & 1,52 & 0,9357 & 1,92 & 0,9726 \\ 0,33 & 0,6293 & 0,73 & 0,7673 & 1,13 & 0,8708 & 1,53 & 0,9370 & 1,93 & 0,9732 \\ 0,34 & 0,6331 & 0,74 & 0,7704 & 1,14 & 0,8729 & 1,54 & 0,9382 & 1,94 & 0,9738 \\ 0,35 & 0,6368 & 0,75 & 0,7734 & 1,15 & 0,8749 & 1,55 & 0,9394 & 1,95 & 0,9744 \\ 0,36 & 0,6406 & 0,76 & 0,7764 & 1,16 & 0,8770 & 1,56 & 0,9406 & 1,96 & 0,9750 \\ 0,37 & 0,6443 & 0,77 & 0,7794 & 1,17 & 0,8790 & 1,57 & 0,9418 & 1,97 & 0,9756 \\ 0,38 & 0,6480 & 0,78 & 0,7823 & 1,18 & 0,8810 & 1,58 & 0,9429 & 1,98 & 0,9761 \\ 0,39 & 0,6517 & 0,79 & 0,7852 & 1,19 & 0,8830 & 1,59 & 0,9441 & 1,99 & 0,9767 \end{matrix}

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & y \\ \frac{dy}{dt} & = & 2y −2x \end{matrix} .

EGZAMIN DYPLOMOWY (MI), część II, 26.09.2003, 11.00-13.00

Zadanie 1. (10 punktów)

Napisać w C funkcję rozwiązującą z zadanym przybliżeniem równanie f(x) = 0 metodą przez połowienie przedziału. Podać założenia o funkcji y = f(x), przy których program skończy swoje działanie.

Zadanie 2. (10 punktów)

Dla ε > 0 niech

A = [ \begin{matrix}1 & 1+ε \\ 1−ε & 1 \end{matrix} ] .

Dla jakiego ε > 0 w normie macierzowej

∥A∥_{∞} = max_{1 i n} ∑_{j=1}^{n} |a_{ij} |

współczynnik dobrego uwarunkowania macierzy κ(A) < 16?

Zadanie 3. (10 punktów)

Zapytano 100 osób, czy chcieliby spędzać wakacje w górach. 49 osób spośród nich odpowiedziało ’TAK’. Oblicz przedział ufności dla prawdopodobieństwa odpowiedzi ’TAK’ na to pytanie na poziomie istotności 0.99. Skorzystać z odpowiedniego przybliżenia rozkładem normalnym oraz z podanej tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

Rozkład normalny; Φ(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{t} e^{−x^{2}/2} dx

\begin{matrix}t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) \\ 0 & 0,5000 & 0,4 & 0,6554 & 0,8 & 0,7881 & 1,2 & 0,8849 & 1,6 & 0,9452 \\ 0,01 & 0,5040 & 0,41 & 0,6591 & 0,81 & 0,7910 & 1,21 & 0,8869 & 1,61 & 0,9463 \\ 0,02 & 0,5080 & 0,42 & 0,6628 & 0,82 & 0,7939 & 1,22 & 0,8888 & 1,62 & 0,9474 \\ 0,03 & 0,5120 & 0,43 & 0,6664 & 0,83 & 0,7967 & 1,23 & 0,8907 & 1,63 & 0,9484 \\ 0,04 & 0,5160 & 0,44 & 0,6700 & 0,84 & 0,7995 & 1,24 & 0,8925 & 1,64 & 0,9495 \\ 0,05 & 0,5199 & 0,45 & 0,6736 & 0,85 & 0,8023 & 1,25 & 0,8944 & 1,65 & 0,9505 \\ 0,06 & 0,5239 & 0,46 & 0,6772 & 0,86 & 0,8051 & 1,26 & 0,8962 & 1,66 & 0,9515 \\ 0,07 & 0,5279 & 0,47 & 0,6808 & 0,87 & 0,8078 & 1,27 & 0,8980 & 1,67 & 0,9525 \\ 0,08 & 0,5319 & 0,48 & 0,6844 & 0,88 & 0,8106 & 1,28 & 0,8997 & 1,68 & 0,9535 \\ 0,09 & 0,5359 & 0,49 & 0,6879 & 0,89 & 0,8133 & 1,29 & 0,9015 & 1,69 & 0,9545 \\ 0,1 & 0,5398 & 0,5 & 0,6915 & 0,9 & 0,8159 & 1,3 & 0,9032 & 1,7 & 0,9554 \\ 0,11 & 0,5438 & 0,51 & 0,6950 & 0,91 & 0,8186 & 1,31 & 0,9049 & 1,71 & 0,9564 \\ 0,12 & 0,5478 & 0,52 & 0,6985 & 0,92 & 0,8212 & 1,32 & 0,9066 & 1,72 & 0,9573 \\ 0,13 & 0,5517 & 0,53 & 0,7019 & 0,93 & 0,8238 & 1,33 & 0,9082 & 1,73 & 0,9582 \\ 0,14 & 0,5557 & 0,54 & 0,7054 & 0,94 & 0,8264 & 1,34 & 0,9099 & 1,74 & 0,9591 \\ 0,15 & 0,5596 & 0,55 & 0,7088 & 0,95 & 0,8289 & 1,35 & 0,9115 & 1,75 & 0,9599 \\ 0,16 & 0,5636 & 0,56 & 0,7123 & 0,96 & 0,8315 & 1,36 & 0,9131 & 1,76 & 0,9608 \\ 0,17 & 0,5675 & 0,57 & 0,7157 & 0,97 & 0,8340 & 1,37 & 0,9147 & 1,77 & 0,9616 \\ 0,18 & 0,5714 & 0,58 & 0,7190 & 0,98 & 0,8365 & 1,38 & 0,9162 & 1,78 & 0,9625 \\ 0,19 & 0,5753 & 0,59 & 0,7224 & 0,99 & 0,8389 & 1,39 & 0,9177 & 1,79 & 0,9633 \\ 0,2 & 0,5793 & 0,6 & 0,7257 & 1 & 0,8413 & 1,4 & 0,9192 & 1,8 & 0,9641 \\ 0,21 & 0,5832 & 0,61 & 0,7291 & 1,01 & 0,8438 & 1,41 & 0,9207 & 1,81 & 0,9649 \\ 0,22 & 0,5871 & 0,62 & 0,7324 & 1,02 & 0,8461 & 1,42 & 0,9222 & 1,82 & 0,9656 \\ 0,23 & 0,5910 & 0,63 & 0,7357 & 1,03 & 0,8485 & 1,43 & 0,9236 & 1,83 & 0,9664 \\ 0,24 & 0,5948 & 0,64 & 0,7389 & 1,04 & 0,8508 & 1,44 & 0,9251 & 1,84 & 0,9671 \\ 0,25 & 0,5987 & 0,65 & 0,7422 & 1,05 & 0,8531 & 1,45 & 0,9265 & 1,85 & 0,9678 \\ 0,26 & 0,6026 & 0,66 & 0,7454 & 1,06 & 0,8554 & 1,46 & 0,9279 & 1,86 & 0,9686 \\ 0,27 & 0,6064 & 0,67 & 0,7486 & 1,07 & 0,8577 & 1,47 & 0,9292 & 1,87 & 0,9693 \\ 0,28 & 0,6103 & 0,68 & 0,7517 & 1,08 & 0,8599 & 1,48 & 0,9306 & 1,88 & 0,9699 \\ 0,29 & 0,6141 & 0,69 & 0,7549 & 1,09 & 0,8621 & 1,49 & 0,9319 & 1,89 & 0,9706 \\ 0,3 & 0,6179 & 0,7 & 0,7580 & 1,1 & 0,8643 & 1,5 & 0,9332 & 1,9 & 0,9713 \\ 0,31 & 0,6217 & 0,71 & 0,7611 & 1,11 & 0,8665 & 1,51 & 0,9345 & 1,91 & 0,9719 \\ 0,32 & 0,6255 & 0,72 & 0,7642 & 1,12 & 0,8686 & 1,52 & 0,9357 & 1,92 & 0,9726 \\ 0,33 & 0,6293 & 0,73 & 0,7673 & 1,13 & 0,8708 & 1,53 & 0,9370 & 1,93 & 0,9732 \\ 0,34 & 0,6331 & 0,74 & 0,7704 & 1,14 & 0,8729 & 1,54 & 0,9382 & 1,94 & 0,9738 \\ 0,35 & 0,6368 & 0,75 & 0,7734 & 1,15 & 0,8749 & 1,55 & 0,9394 & 1,95 & 0,9744 \\ 0,36 & 0,6406 & 0,76 & 0,7764 & 1,16 & 0,8770 & 1,56 & 0,9406 & 1,96 & 0,9750 \\ 0,37 & 0,6443 & 0,77 & 0,7794 & 1,17 & 0,8790 & 1,57 & 0,9418 & 1,97 & 0,9756 \\ 0,38 & 0,6480 & 0,78 & 0,7823 & 1,18 & 0,8810 & 1,58 & 0,9429 & 1,98 & 0,9761 \\ 0,39 & 0,6517 & 0,79 & 0,7852 & 1,19 & 0,8830 & 1,59 & 0,9441 & 1,99 & 0,9767 \end{matrix}

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & y \\ \frac{dy}{dt} & = & 2y −2x \end{matrix} .

EGZAMIN DYPLOMOWY (NA), część II, 26.09.2003, 11.00-13.00

Zadanie 1. (10 punktów) Wyznaczyć równanie sfery opisanej na czworościanie ABCD, gdzie współrzędne kartezjań-

skie wierzchołków są równe:

A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(0,0,1) .

Zadanie 2. (10 punktów) Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1 i przy

dzieleniu przez 7 dają resztę 2.

Zadanie 3. (10 punktów) Zapytano 100 osób, czy chcieliby spędzać wakacje w górach. 49 osób spośród nich odpo-

wiedziało ’TAK’. Oblicz przedział ufności dla prawdopodobieństwa odpowiedzi ’TAK’ na to pytanie na poziomie istotności 0.99. Skorzystać z odpowiedniego przybliżenia rozkładem normalnym oraz z podanej tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

Rozkład normalny; Φ(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{t} e^{−x^{2}/2} dx

\begin{matrix}t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) \\ 0 & 0,5000 & 0,4 & 0,6554 & 0,8 & 0,7881 & 1,2 & 0,8849 & 1,6 & 0,9452 \\ 0,01 & 0,5040 & 0,41 & 0,6591 & 0,81 & 0,7910 & 1,21 & 0,8869 & 1,61 & 0,9463 \\ 0,02 & 0,5080 & 0,42 & 0,6628 & 0,82 & 0,7939 & 1,22 & 0,8888 & 1,62 & 0,9474 \\ 0,03 & 0,5120 & 0,43 & 0,6664 & 0,83 & 0,7967 & 1,23 & 0,8907 & 1,63 & 0,9484 \\ 0,04 & 0,5160 & 0,44 & 0,6700 & 0,84 & 0,7995 & 1,24 & 0,8925 & 1,64 & 0,9495 \\ 0,05 & 0,5199 & 0,45 & 0,6736 & 0,85 & 0,8023 & 1,25 & 0,8944 & 1,65 & 0,9505 \\ 0,06 & 0,5239 & 0,46 & 0,6772 & 0,86 & 0,8051 & 1,26 & 0,8962 & 1,66 & 0,9515 \\ 0,07 & 0,5279 & 0,47 & 0,6808 & 0,87 & 0,8078 & 1,27 & 0,8980 & 1,67 & 0,9525 \\ 0,08 & 0,5319 & 0,48 & 0,6844 & 0,88 & 0,8106 & 1,28 & 0,8997 & 1,68 & 0,9535 \\ 0,09 & 0,5359 & 0,49 & 0,6879 & 0,89 & 0,8133 & 1,29 & 0,9015 & 1,69 & 0,9545 \\ 0,1 & 0,5398 & 0,5 & 0,6915 & 0,9 & 0,8159 & 1,3 & 0,9032 & 1,7 & 0,9554 \\ 0,11 & 0,5438 & 0,51 & 0,6950 & 0,91 & 0,8186 & 1,31 & 0,9049 & 1,71 & 0,9564 \\ 0,12 & 0,5478 & 0,52 & 0,6985 & 0,92 & 0,8212 & 1,32 & 0,9066 & 1,72 & 0,9573 \\ 0,13 & 0,5517 & 0,53 & 0,7019 & 0,93 & 0,8238 & 1,33 & 0,9082 & 1,73 & 0,9582 \\ 0,14 & 0,5557 & 0,54 & 0,7054 & 0,94 & 0,8264 & 1,34 & 0,9099 & 1,74 & 0,9591 \\ 0,15 & 0,5596 & 0,55 & 0,7088 & 0,95 & 0,8289 & 1,35 & 0,9115 & 1,75 & 0,9599 \\ 0,16 & 0,5636 & 0,56 & 0,7123 & 0,96 & 0,8315 & 1,36 & 0,9131 & 1,76 & 0,9608 \\ 0,17 & 0,5675 & 0,57 & 0,7157 & 0,97 & 0,8340 & 1,37 & 0,9147 & 1,77 & 0,9616 \\ 0,18 & 0,5714 & 0,58 & 0,7190 & 0,98 & 0,8365 & 1,38 & 0,9162 & 1,78 & 0,9625 \\ 0,19 & 0,5753 & 0,59 & 0,7224 & 0,99 & 0,8389 & 1,39 & 0,9177 & 1,79 & 0,9633 \\ 0,2 & 0,5793 & 0,6 & 0,7257 & 1 & 0,8413 & 1,4 & 0,9192 & 1,8 & 0,9641 \\ 0,21 & 0,5832 & 0,61 & 0,7291 & 1,01 & 0,8438 & 1,41 & 0,9207 & 1,81 & 0,9649 \\ 0,22 & 0,5871 & 0,62 & 0,7324 & 1,02 & 0,8461 & 1,42 & 0,9222 & 1,82 & 0,9656 \\ 0,23 & 0,5910 & 0,63 & 0,7357 & 1,03 & 0,8485 & 1,43 & 0,9236 & 1,83 & 0,9664 \\ 0,24 & 0,5948 & 0,64 & 0,7389 & 1,04 & 0,8508 & 1,44 & 0,9251 & 1,84 & 0,9671 \\ 0,25 & 0,5987 & 0,65 & 0,7422 & 1,05 & 0,8531 & 1,45 & 0,9265 & 1,85 & 0,9678 \\ 0,26 & 0,6026 & 0,66 & 0,7454 & 1,06 & 0,8554 & 1,46 & 0,9279 & 1,86 & 0,9686 \\ 0,27 & 0,6064 & 0,67 & 0,7486 & 1,07 & 0,8577 & 1,47 & 0,9292 & 1,87 & 0,9693 \\ 0,28 & 0,6103 & 0,68 & 0,7517 & 1,08 & 0,8599 & 1,48 & 0,9306 & 1,88 & 0,9699 \\ 0,29 & 0,6141 & 0,69 & 0,7549 & 1,09 & 0,8621 & 1,49 & 0,9319 & 1,89 & 0,9706 \\ 0,3 & 0,6179 & 0,7 & 0,7580 & 1,1 & 0,8643 & 1,5 & 0,9332 & 1,9 & 0,9713 \\ 0,31 & 0,6217 & 0,71 & 0,7611 & 1,11 & 0,8665 & 1,51 & 0,9345 & 1,91 & 0,9719 \\ 0,32 & 0,6255 & 0,72 & 0,7642 & 1,12 & 0,8686 & 1,52 & 0,9357 & 1,92 & 0,9726 \\ 0,33 & 0,6293 & 0,73 & 0,7673 & 1,13 & 0,8708 & 1,53 & 0,9370 & 1,93 & 0,9732 \\ 0,34 & 0,6331 & 0,74 & 0,7704 & 1,14 & 0,8729 & 1,54 & 0,9382 & 1,94 & 0,9738 \\ 0,35 & 0,6368 & 0,75 & 0,7734 & 1,15 & 0,8749 & 1,55 & 0,9394 & 1,95 & 0,9744 \\ 0,36 & 0,6406 & 0,76 & 0,7764 & 1,16 & 0,8770 & 1,56 & 0,9406 & 1,96 & 0,9750 \\ 0,37 & 0,6443 & 0,77 & 0,7794 & 1,17 & 0,8790 & 1,57 & 0,9418 & 1,97 & 0,9756 \\ 0,38 & 0,6480 & 0,78 & 0,7823 & 1,18 & 0,8810 & 1,58 & 0,9429 & 1,98 & 0,9761 \\ 0,39 & 0,6517 & 0,79 & 0,7852 & 1,19 & 0,8830 & 1,59 & 0,9441 & 1,99 & 0,9767 \end{matrix}

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & y \\ \frac{dy}{dt} & = & 2y −2x \end{matrix} .

EGZAMIN DYPLOMOWY (TE), część II, 26.09.2003, 11.00-13.00

Zadanie 1. (10 punktów) Niech f : R → R będzie ciągłą funkcją, o której wiadomo, że posiada pochodną f′(x) dla

wszystkich x ≠ 0, i że f′(x) → 3 przy x → 0. Czy wynika stąd, że f′(0) istnieje?

Zadanie 2. (10 punktów) Na przestrzeni macierzy rozmiaru n×n rozważ normę ||A||_{1} = ∑ |a_{ij} | oraz normę operato-

rową ||A||_{0} = sup{|Ax|: x ∈ R^{n},|x| = 1}.

(1) Uzasadnij, że są to normy.

(2) Uzasadnij, że normy te są równoważne.

Zadanie 3. (10 punktów) Rozważmy pierścień Γ liczb całkowitych Gaussa, tzn. liczb (zespolonych) postaci

a+bi, gdzie a,b są całkowite, z działaniami dodawania i mnożenia.

(A) Znajdź wszystkie elementy odwracalne w tym pierścieniu. (B) Uzasadnij, że pierścień Γ z normą ||z||:= |z|^{2} jest pierścierniem euklidesowym, tzn. dla

dowolnych u,w ∈ Γ istnieją q,r ∈ Γ takie, że u = w ·q +r, gdzie ||r|| < ||w||.

Wskazówka: wykorzystać geometryczną interpretację liczb zespolonych rozważając zbiór wielokrotności {w ·g: g ∈ Γ} liczby w.

Zadanie 4. (10 punktów) Mocne prawo wielkich liczb mówi, że jeśli X_{1},X_{2},... są jednakowo rozłożonymi niezależnymi

zmiennymi losowymi o skończonej wartości oczekiwanej m, zaś S_{n} = ∑ _{k=1}^{∞} X_{k}, to P (\{lim_{n→∞} \frac{S_{n}}{n} = m\}) = 1.

Zastosuj mocne prawo wielkich liczb do dowodu następującego twierdzenia: zbiór liczb rzeczywistych, w których rozwinięciu dziesiętnym każda cyfra pojawia się po

przecinku z asymptotyczną częstością 1/10, ma pełną miarę (tzn. jego dopełnienie ma miarę Lebesgue’a zero).

Asymptotyczna częstość to granica lim_{n→∞} \frac{w_{n}}{n} , gdzie w_{n} jest liczbą wystąpień danej cyfry na pierwszych n miejscach po przecinku.

EGZAMIN DYPLOMOWY (ZA), część II, 26.09.2003, 11.00-13.00

Zadanie 1. (10 punktów) Niech {X_{n}} będzie ciągiem zmiennych losowych zbieżnym według rozkładu do zmiennej

losowej X. Udowodnij, że dla dowolnych ciągów liczbowych {a_{n}} i {b_{n}} takich, że lim_{n→∞} a_{n} = a oraz lim_{n→∞} b_{n} = b, ciąg zmiennych losowych {a_{n}X_{n} +b_{n}} jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej aX +b.

Zadanie 2. (10 punktów) Znajdź wszystkie rozkłady stacjonarne dla łańcucha Markowa o macierzy przejścia

P = ( \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & \frac{1}{5} \end{matrix} ) .

Zadanie 3. (10 punktów) Niech (X_{1},X_{2},...,X_{n}) będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego o nieznanej wartości

średniej μ. W klasie nieobciążonych estymatorów parametru μ znajdź estymator o minimalnej wariancji.

Zadanie 4. (10 punktów) Podaj ogólne rozwiązanie następującego układu równań różniczkowych

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & y \\ \frac{dy}{dt} & = & 2y −2x \end{matrix} .