Wersja testu A 25 września 2003r.

1. Czy prawdą jest, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x·z;

b) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x·z;

c) ∀_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x·z;

d) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x·z?

2. O twierdzeniu T (n) udowodniono, że prawdziwe są T (1) i T (6), oraz że dla dowolnego n 1 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n+3). Czy można stąd wnioskować, że

a) fałszywe jest T (11) ;

b) dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwe jest T (n^{2}) ;

c) prawdziwe jest T (9) ;

d) fałszywe jest T (3) ?

3. Czy jest prawdą, że

a) lim_{x→0} \frac{cosx}{x} = 1 ;

b) lim_{x→0} \frac{tgx}{x} = 1 ;

c) lim_{x→0+} x lnx = 0 ;

d) lim_{x→0} \frac{e^{x}−x−1}{x^{2}} = \frac{1}{2} ?

4. Ciąg (a_{n}) nie jest zbieżny do granicy skończonej. Czy stąd wynika, że

a) ciąg (b_{n}), gdzie b_{n} = a_{2n}, nie jest zbieżny do granicy skończonej ;

b) ciąg (a_{n}) jest nieograniczony ;

c) istnieją takie liczby całkowite dodatnie m, n, że |a_{m} −a_{n}| > \frac{1}{1000} ;

d) ciąg (a_{n}) ma co najmniej jeden wyraz niecałkowity ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} jest zbieżny, jeśli

a) a_{n} = \frac{n^{e}+1}{n^{π} +1} ;

b) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n^{2}−7} ;

c) a_{n} = \frac{1}{\sqrt[7]{n+7}} ;

d) a_{n} = \frac{1}{n!} ?

6. Czy funkcja f(x) = cosx jest monotoniczna na przedziale

a) (7,9) ;

b) (4,6) ;

c) (6,8) ;

d) (5,7) ?

7. Czy funkcja f ma lokalne minimum w punkcie (0,0), jeżeli dana jest wzorem

a) f(x,y) = x^{2}+3xy +2y^{2} ;

b) f(x,y) = sin^{2}x+sin^{2}y;

c) f(x,y) = x^{2}+5xy +7y^{2} ;

d) f(x,y) = x^{4}+y^{4}+xy?

8. Czy jest prawdą, że

a) log_{2}6 < log_{4}35 ;

b) log_{4}65 < log_{3}26 ;

c) log_{2}3 < log_{3}10 ;

d) log_{5}24 < log_{2}5 ?

9. Czy funkcja f określona podanym wzorem jest ograniczona w swojej dziedzinie

a) f(x) = \frac{x^{5}+15x^{2}+77x+168}{x^{4}+1} ;

b) f(x) = \frac{x^{3}+15x^{2}+77x+168}{x^{4}+1} ;

c) f(x) = \frac{x^{4}+15x^{2}+77x+168}{x^{3}+1} ;

d) f(x) = \frac{x^{4}+15x^{2}+77x+168}{x^{5}+1} ?

10. Czy istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia M, że dla dowolnej liczby całkowitej n > M zachodzi nierówność

a) ^{n} \sqrt{1234567}> 2 ;

b) ln(n^{1234567} +1) > n;

c) n! > n^{1234567} ;

d) n! > 1234567^{n} ?

11. Czy rząd podanej macierzy jest równy 4

a) ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix} ) ;

b) ( \begin{matrix}14 & 1 & 1 \\ 32 & 2 & 3 \\ 45 & 3 & 5 \end{matrix} ) ;

c) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 7 & 11 & 0 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{matrix} ) ;

d) ( \begin{matrix}1 & 5 & 9 & 13 \\ 2 & 6 & 10 & 14 \\ 3 & 7 & 11 & 15 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{matrix} ) ?

12. Wektory v_{1}, v_{2}, v_{3} tworzą układ wektorów liniowo niezależnych w ℝ^{3}. Czy stąd wynika, że

a) wektory v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3} oraz v_{3}−v_{1} są liniowo zależne ;

b) wektory v_{1}+v_{2}, v_{2}+v_{3} oraz v_{3}+v_{1} są liniowo niezależne ;

c) wektory v_{1}−v_{2}, v_{2}−v_{3} oraz v_{3}−v_{1} są liniowo niezależne ;

d) wektory v_{1}+v_{2} oraz v_{3}−v_{2} są różne ?

13. Macierz A o wymiarach 2×2 ma wartości własne 1 i 3. Czy stąd wynika, że

a) wyznacznik macierzy A jest liczbą całkowitą ;

b) rząd macierzy A jest równy 2 ;

c) rząd macierzy A^{2}−A jest równy 2 ;

d) macierz A jest diagonalna ?

14. Czy poprawnie obliczono wyznacznik

a) det( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 30 & 2 & 7 & 2 & 7 \\ −3 & 5 & 3 & 5 & 6 \\ 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ 8 & 4 & 6 & 3 & 5 \end{matrix} ) = 0 ;

b) det( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 7 & 0 & 2 & 7 \\ 3 & 5 & 3 & 0 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 1 & 0 & 3 & 5 \\ 8 & 4 & 6 & 0 & 3 & 5 \end{matrix} ) = 120 ;

c) det( \begin{matrix}10 & 10 & 10 & 10 \\ 7 & 2 & 5 & 1 \\ 8 & 7 & 5 & 3 \\ 9 & 8 & 9 & 2 \end{matrix} ) = 71 ;

d) det( \begin{matrix}31 & 2 & 17 \\ 15 & 1 & 53 \\ 0 & 0 & 77 \end{matrix} ) = 77 ?

15. Czy istnieje element rzędu 3 w grupie

a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} z dodawaniem modulo 7 ;

b) {0, 1, 2, 3, 4} z dodawaniem modulo 5 ;

c) {1, 2, 3, 4, 5, 6} z mnożeniem modulo 7 ;

d) {1, 2, 3, 4} z mnożeniem modulo 5 ?

16. Niech H będzie dowolną podgrupą grupy G. Czy stąd wynika, że dla dowolnych g ∈ G oraz h ∈ H

a) g^{2} ∈ H;

b) hg ∈ H;

c) h^{2} ∈ H;

d) gh ∈ G?

17. Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

a) x^{100} +x^{66}+1 ;

b) x^{222} −x^{111} +1 ;

c) 7x^{111} +4x^{44}+33 ;

d) 5x^{66}+2x^{22}−3 ?

18. Czy jednym z rozwiązań równania z^{30} = 1 jest

a) z = i;

b) z = \frac{\sqrt{3}+i}{2} ;

c) z = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} ;

d) z = 5+i ?

19. Rzucamy 6-krotnie monetą. Czy prawdopodobieństwo podanego zdarzenia jest mniejsze od 1/2

a) wypadły co najwyżej dwa orły ;

b) wypadła parzysta liczba orłów ;

c) liczba wyrzuconych orłów jest równa 3 lub 4 ;

d) liczba wyrzuconych orłów jest liczbą pierwszą ?

20. Dane są trzy urny: w pierwszej znajduje się kula biała, w drugiej kula biała i kula czarna, w trzeciej kula biała i dwie kule czarne. Wybieramy losowo urnę, a następnie losujemy z niej kulę. Niech p/q oznacza prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała, zapisane w postaci ułamka nieskracalnego. Czy wtedy

a) liczba p jest większa od 10 ;

b) liczba p jest parzysta ;

c) liczba q jest większa od 20 ;

d) liczba q jest parzysta ?