EGZAMIN DYPLOMOWY, część I, 25.09.2003, 8.00-10.00

Zadanie 1. (3 punkty) Rozwiązać nierówność

log_{(x+1)/2} (x+6) 2log_{(x+1)/2} |x| .

Zadanie 2. (4 punkty) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y,z) = x+2y +4z

na okręgu określonym równaniami

x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1, x+y +z = 0 .

Podać punkty, w których te wartości są osiągane.

Zadanie 3. (3 punkty) Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∑_{n=1}^{∞} ( \sqrt{n^{2}+n} −n) .

Zadanie 4. (3 punkty) Dać przykład takiej macierzy 3×3 rzędu 2, że wektor (1,0,0) jest wektorem własnym

odpowiadającym wartości własnej 2, a wektor (0,1,1) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej 3.

Zadanie 5. (4 punkty) W każdej z dwóch urn znajduje się jedna kula biała. Wybieramy losowo jedną z urn i

wkładamy do niej kulę czarną. Ponownie wybieramy losowo jedną z urn i wkładamy do niej kulę czarną. Następnie wybieramy losowo jedną z urn i losujemy z niej kulę.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała.

Zadanie 6. (3 punkty) Rozstrzygnąć, czy w grupie permutacji S_{5} istnieje element rzędu 6.