Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania testowe 13 lutego 2003r.

Wersja testu A 13 lutego 2003r.

1. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

2. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

3. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

4. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

5. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

6. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

7. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

8. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

9. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

10. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

Wersja testu A 13 lutego 2003r.

3

1. Czy prawdą jest, że

a) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

b) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z;

c) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

d) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z?

2. O twierdzeniu T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), T (100) oraz że dla dowolnego n 10 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n−1). Czy można stąd wnioskować, że

a) prawdziwe jest T (10) ;

b) prawdziwa jest implikacja T (300) ⇒ T (200) ;

c) prawdziwa jest implikacja T (50) ⇒ T (30) ;

d) prawdziwe jest T (9) ?

3. Czy jest prawdą, że

a) ∫_{50}^{100}sin(x^{777}) dx > 100 ;

b) ∫_{0}^{10}e^{cosx}dx > 1 ;

c) ∫_{2}^{3}x^{x^{x}} dx > 9 ;

d) ∫_{2}^{4} \sqrt{x^{4}+1} dx > 9 ?

4. Funkcja f : ℝ^{2} → ℝ, dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły, spełnia warunek f′_{x}(0,0) = f′_{y}(0,0) = 0. Czy możemy z całą pewnością stwierdzić, że f ma w punkcie (0,0) lokalne maksimum, jeśli wiemy, że a) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = 3, f′′_{xy}(0,0) = 55 ;

b) f′′_{xx}(0,0) = 1, f′′_{yy}(0,0) = 5, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

c) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −6, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

d) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −3, f′′_{xy}(0,0) = 2 ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} musi być zbieżny, jeśli wiadomo, że

a) lim_{n→∞} a_{n} = 1 ;

b) lim_{n→∞} a_{n} = 0 ;

c) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 ;

d) lim_{n→∞} a_{n} = \frac{2}{3} ?

6. Czy funkcja f(x,y) = \{ \begin{matrix}y & gdy & y x^{2} \\ x+2 & gdy & y < x^{2} \end{matrix} jest ciągła w punkcie

a) (1,2) ;

b) (0,0) ;

c) (2,4) ;

d) (−1,1) ?

7. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi nierówność

a) |z +z^{2}| |z|+|z|^{2} ;

b) |z| |z +1|;

c) |z\overline{z}| |z^{2}|;

d) |z^{2}+1| 1 ?

8. Czy dla dowolnych liczby rzeczywistych x, y zachodzi nierówność a) |x| |x+y|−|y|;

b) |x−y| |x|+|y|;

c) xy x^{2}+y^{2} ;

d) xy x^{3}+y^{3} ?

9. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem jest ograniczony

a) a_{n} = n·(−1)^{n} ;

b) a_{n} = \frac{2n^{2}+5}{3n^{2}+7} ;

c) a_{n} = (−1)^{n} ;

d) a_{n} = \frac{2n^{3}+5}{3n^{2}+7} ?

10. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi równość a) cos(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ;

b) sin(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ;

c) cos(πn) = (−1)^{n} ;

d) sin(πn) = (−1)^{n} ?

Wersja testu A 13 lutego 2003r.

11. Czy rząd podanej macierzy jest równy 2

a) A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} ) ;

b) A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) ;

c) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} ) ;

d) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix} ) ?

12. Czy poprawnie obliczono wyznacznik

a) det( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 5 & 5 & 9 \\ 0 & 7 & 4 & 2 \end{matrix} ) = 70 ;

b) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) = 20 ;

c) det( \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) = −1 ;

d) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} ) = 1 ?

13. Czy jedną z wartości własnych macierzy ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) jest liczba

a) 1 ;

b) 3 ;

c) 4 ;

d) 2 ?

14. Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Wiadomo, że pary (1,3) i (2,0) są rozwiązaniami tego układu. Czy stąd wynika, że

a) para (3,−3) jest rozwiązaniem danego układu ;

b) para (2,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

c) para (1,0) \underline{nie} jest rozwiązaniem danego układu ;

d) para (0,6) jest rozwiązaniem danego układu ?

15. Czy istnieje grupa nieabelowa (tzn. nieprzemienna) rzędu

a) 6 ;

b) 5 ;

c) 4 ;

d) 3 ?

16. Rozważamy pierścień ℤ_{n} = {0, 1, 2, 3, ..., n−1} z dodawaniem i mnożeniem modulo n. Czy pierścień ten jest ciałem dla

a) n = 10 ;

b) n = 9 ;

c) n = 11 ;

d) n = 8 ?

17. Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

a) x^{4}+x^{2}+1 ;

b) x^{4}+3x^{2}+2 ;

c) x^{8}−x^{4}+x^{2}−1 ;

d) x^{9}+x^{3}+1 ?

18. Czy prawdziwa jest równość

a) i^{2003} = −i;

b) (3+i )^{2003} = 1000+i;

c) ( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} )^{2003} = \frac{1−i\sqrt{3}}{2} ;

d) ( \frac{1+i}{\sqrt{2}} )^{2003} = i?

19. Losujemy liczbę ze zbioru {1, 2, 3, ..., 8}. Niech A - zdarzenie, że wylosowana liczba jest liczbą pierwszą, B - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nie większa niż 4, C - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nieparzysta. Czy wtedy

a) zdarzenia B i C są niezależne ;

b) zdarzenia A i B są niezależne ;

c) zdarzenia A, B i C są niezależne ;

d) zdarzenia A i C są niezależne ?

20. Wykonujemy 4 rzuty monetą. Czy wtedy

a) prawdopodobieństwo, że wypadł dokładnie jeden orzeł, jest równe 1/4 ;

b) prawdopodobieństwo, że w każdych dwóch kolejnych rzutach wypadły różne wyniki, jest równe 1/4 ;

c) prawdopodobieństwo, że w pewnych trzech kolejnych rzutach wypadł ten sam wynik, jest równe 3/8 ;

d) prawdopodobieństwo, że we wszystkich czterech rzutach wypadły takie same wyniki, jest równe 1/8 ?

Wersja testu A 13 lutego 2003r.

9

Wersja testu A 13 lutego 2003r.

10

11. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

12. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

13. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

14. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

15. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

16. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

17. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

18. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

19. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

20. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (testowa) 19.06.2002

INSTRUKCJE DOTYCZĄCE WYPEŁNIANIA TESTU

1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów.

2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersją podaną na karcie odpowiedzi.

3. Nie używać własnego papieru, papier na brudnopis zostanie dostarczony przez Komisję Egzaminacyjną. Każdą kartkę brudnopisu nalezy bezzwłocznie podpisać. Nie zadawać głośno pytań, ani nie wstawać z miejsc. W razie potrzeby (np. otrzymania dodatkowego papieru) podnieść rękę i zaczekać na miejscu na podejście osoby dyżurującej.

4. W każdym pytaniu udzielić odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczając krzyżykiem kratkę z WŁAŚCIWĄ odpowiedzią.

5. Punkty otrzymuje się tylko za zadania, w których udzieliło się 4 poprawnych odpowiedzi (po 1 punkcie za zadanie).

6. W przypadku konieczności dokonania zmiany odpowiedzi należy podnieść rękę i zaczekać na podejście osoby dyżurującej.

7. Nie oglądać treści zadań bez pozwolenia, nie pisać po ogłoszeniu końca egzaminu !!!

Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania testowe 13 lutego 2003r.

Wersja testu B 13 lutego 2003r.

1. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

2. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

3. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

4. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

5. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

6. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

7. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

8. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

9. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

10. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

Wersja testu B 13 lutego 2003r.

3

1. Czy prawdą jest, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z;

b) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z;

c) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

d) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z?

2. O twierdzeniu T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), T (100) oraz że dla dowolnego n 10 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n−1). Czy można stąd wnioskować, że

a) prawdziwa jest implikacja T (50) ⇒ T (30) ;

b) prawdziwe jest T (10) ;

c) prawdziwe jest T (9) ;

d) prawdziwa jest implikacja T (300) ⇒ T (200) ?

3. Czy jest prawdą, że

a) ∫_{0}^{10}e^{cosx}dx > 1 ;

b) ∫_{2}^{3}x^{x^{x}} dx > 9 ;

c) ∫_{2}^{4} \sqrt{x^{4}+1} dx > 9 ;

d) ∫_{50}^{100}sin(x^{777}) dx > 100 ?

4. Funkcja f : ℝ^{2} → ℝ, dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły, spełnia warunek f′_{x}(0,0) = f′_{y}(0,0) = 0. Czy możemy z całą pewnością stwierdzić, że f ma w punkcie (0,0) lokalne maksimum, jeśli wiemy, że a) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −3, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

b) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = 3, f′′_{xy}(0,0) = 55 ;

c) f′′_{xx}(0,0) = 1, f′′_{yy}(0,0) = 5, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

d) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −6, f′′_{xy}(0,0) = 2 ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} musi być zbieżny, jeśli wiadomo, że

a) lim_{n→∞} a_{n} = 1 ;

b) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 ;

c) lim_{n→∞} a_{n} = 0 ;

d) lim_{n→∞} a_{n} = \frac{2}{3} ?

6. Czy funkcja f(x,y) = \{ \begin{matrix}y & gdy & y x^{2} \\ x+2 & gdy & y < x^{2} \end{matrix} jest ciągła w punkcie

a) (0,0) ;

b) (2,4) ;

c) (1,2) ;

d) (−1,1) ?

7. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi nierówność

a) |z +z^{2}| |z|+|z|^{2} ;

b) |z| |z +1|;

c) |z^{2}+1| 1 ;

d) |z\overline{z}| |z^{2}|?

8. Czy dla dowolnych liczby rzeczywistych x, y zachodzi nierówność a) xy x^{3}+y^{3} ;

b) |x−y| |x|+|y|;

c) xy x^{2}+y^{2} ;

d) |x| |x+y|−|y|?

9. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem jest ograniczony

a) a_{n} = \frac{2n^{2}+5}{3n^{2}+7} ;

b) a_{n} = \frac{2n^{3}+5}{3n^{2}+7} ;

c) a_{n} = (−1)^{n} ;

d) a_{n} = n·(−1)^{n} ?

10. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi równość a) sin(πn) = (−1)^{n} ;

b) sin(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ;

c) cos(πn) = (−1)^{n} ;

d) cos(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ?

Wersja testu B 13 lutego 2003r.

11. Czy rząd podanej macierzy jest równy 2

a) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} ) ;

b) A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) ;

c) A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} ) ;

d) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix} ) ?

12. Czy poprawnie obliczono wyznacznik

a) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) = 20 ;

b) det( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 5 & 5 & 9 \\ 0 & 7 & 4 & 2 \end{matrix} ) = 70 ;

c) det( \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) = −1 ;

d) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} ) = 1 ?

13. Czy jedną z wartości własnych macierzy ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) jest liczba

a) 1 ;

b) 3 ;

c) 4 ;

d) 2 ?

14. Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Wiadomo, że pary (1,3) i (2,0) są rozwiązaniami tego układu. Czy stąd wynika, że

a) para (2,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

b) para (1,0) \underline{nie} jest rozwiązaniem danego układu ;

c) para (0,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

d) para (3,−3) jest rozwiązaniem danego układu ?

15. Czy istnieje grupa nieabelowa (tzn. nieprzemienna) rzędu

a) 5 ;

b) 3 ;

c) 6 ;

d) 4 ?

16. Rozważamy pierścień ℤ_{n} = {0, 1, 2, 3, ..., n−1} z dodawaniem i mnożeniem modulo n. Czy pierścień ten jest ciałem dla

a) n = 11 ;

b) n = 8 ;

c) n = 10 ;

d) n = 9 ?

17. Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

a) x^{4}+3x^{2}+2 ;

b) x^{4}+x^{2}+1 ;

c) x^{8}−x^{4}+x^{2}−1 ;

d) x^{9}+x^{3}+1 ?

18. Czy prawdziwa jest równość

a) (3+i )^{2003} = 1000+i;

b) i^{2003} = −i;

c) ( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} )^{2003} = \frac{1−i\sqrt{3}}{2} ;

d) ( \frac{1+i}{\sqrt{2}} )^{2003} = i?

19. Losujemy liczbę ze zbioru {1, 2, 3, ..., 8}. Niech A - zdarzenie, że wylosowana liczba jest liczbą pierwszą, B - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nie większa niż 4, C - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nieparzysta. Czy wtedy

a) zdarzenia B i C są niezależne ;

b) zdarzenia A, B i C są niezależne ;

c) zdarzenia A i B są niezależne ;

d) zdarzenia A i C są niezależne ?

20. Wykonujemy 4 rzuty monetą. Czy wtedy

a) prawdopodobieństwo, że we wszystkich czterech rzutach wypadły takie same wyniki, jest równe 1/8 ;

b) prawdopodobieństwo, że w każdych dwóch kolejnych rzutach wypadły różne wyniki, jest równe 1/4 ;

c) prawdopodobieństwo, że wypadł dokładnie jeden orzeł, jest równe 1/4 ;

d) prawdopodobieństwo, że w pewnych trzech kolejnych rzutach wypadł ten sam wynik, jest równe 3/8 ?

Wersja testu B 13 lutego 2003r.

9

Wersja testu B 13 lutego 2003r.

10

11. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

12. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

13. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

14. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

15. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

16. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

17. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

18. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

19. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

20. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (testowa) 19.06.2002

INSTRUKCJE DOTYCZĄCE WYPEŁNIANIA TESTU

1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów.

2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersją podaną na karcie odpowiedzi.

3. Nie używać własnego papieru, papier na brudnopis zostanie dostarczony przez Komisję Egzaminacyjną. Każdą kartkę brudnopisu nalezy bezzwłocznie podpisać. Nie zadawać głośno pytań, ani nie wstawać z miejsc. W razie potrzeby (np. otrzymania dodatkowego papieru) podnieść rękę i zaczekać na miejscu na podejście osoby dyżurującej.

4. W każdym pytaniu udzielić odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczając krzyżykiem kratkę z WŁAŚCIWĄ odpowiedzią.

5. Punkty otrzymuje się tylko za zadania, w których udzieliło się 4 poprawnych odpowiedzi (po 1 punkcie za zadanie).

6. W przypadku konieczności dokonania zmiany odpowiedzi należy podnieść rękę i zaczekać na podejście osoby dyżurującej.

7. Nie oglądać treści zadań bez pozwolenia, nie pisać po ogłoszeniu końca egzaminu !!!

Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania testowe 13 lutego 2003r.

Wersja testu C 13 lutego 2003r.

1. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

2. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

3. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

4. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

5. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

6. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

7. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

8. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

9. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

10. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

Wersja testu C 13 lutego 2003r.

3

1. Czy prawdą jest, że

a) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z;

b) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

c) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

d) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z?

2. O twierdzeniu T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), T (100) oraz że dla dowolnego n 10 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n−1). Czy można stąd wnioskować, że

a) prawdziwa jest implikacja T (50) ⇒ T (30) ;

b) prawdziwe jest T (9) ;

c) prawdziwa jest implikacja T (300) ⇒ T (200) ;

d) prawdziwe jest T (10) ?

3. Czy jest prawdą, że

a) ∫_{50}^{100}sin(x^{777}) dx > 100 ;

b) ∫_{2}^{4} \sqrt{x^{4}+1} dx > 9 ;

c) ∫_{0}^{10}e^{cosx}dx > 1 ;

d) ∫_{2}^{3}x^{x^{x}} dx > 9 ?

4. Funkcja f : ℝ^{2} → ℝ, dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły, spełnia warunek f′_{x}(0,0) = f′_{y}(0,0) = 0. Czy możemy z całą pewnością stwierdzić, że f ma w punkcie (0,0) lokalne maksimum, jeśli wiemy, że a) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −3, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

b) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −6, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

c) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = 3, f′′_{xy}(0,0) = 55 ;

d) f′′_{xx}(0,0) = 1, f′′_{yy}(0,0) = 5, f′′_{xy}(0,0) = 2 ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} musi być zbieżny, jeśli wiadomo, że

a) lim_{n→∞} a_{n} = 0 ;

b) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 ;

c) lim_{n→∞} a_{n} = 1 ;

d) lim_{n→∞} a_{n} = \frac{2}{3} ?

6. Czy funkcja f(x,y) = \{ \begin{matrix}y & gdy & y x^{2} \\ x+2 & gdy & y < x^{2} \end{matrix} jest ciągła w punkcie

a) (−1,1) ;

b) (0,0) ;

c) (1,2) ;

d) (2,4) ?

7. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi nierówność

a) |z^{2}+1| 1 ;

b) |z\overline{z}| |z^{2}|;

c) |z +z^{2}| |z|+|z|^{2} ;

d) |z| |z +1|?

8. Czy dla dowolnych liczby rzeczywistych x, y zachodzi nierówność a) xy x^{3}+y^{3} ;

b) xy x^{2}+y^{2} ;

c) |x−y| |x|+|y|;

d) |x| |x+y|−|y|?

9. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem jest ograniczony

a) a_{n} = \frac{2n^{2}+5}{3n^{2}+7} ;

b) a_{n} = \frac{2n^{3}+5}{3n^{2}+7} ;

c) a_{n} = n·(−1)^{n} ;

d) a_{n} = (−1)^{n} ?

10. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi równość a) cos(πn) = (−1)^{n} ;

b) sin(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ;

c) cos(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ;

d) sin(πn) = (−1)^{n} ?

Wersja testu C 13 lutego 2003r.

11. Czy rząd podanej macierzy jest równy 2

a) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix} ) ;

b) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} ) ;

c) A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) ;

d) A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} ) ?

12. Czy poprawnie obliczono wyznacznik

a) det( \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) = −1 ;

b) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} ) = 1 ;

c) det( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 5 & 5 & 9 \\ 0 & 7 & 4 & 2 \end{matrix} ) = 70 ;

d) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) = 20 ?

13. Czy jedną z wartości własnych macierzy ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) jest liczba

a) 4 ;

b) 3 ;

c) 1 ;

d) 2 ?

14. Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Wiadomo, że pary (1,3) i (2,0) są rozwiązaniami tego układu. Czy stąd wynika, że

a) para (2,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

b) para (3,−3) jest rozwiązaniem danego układu ;

c) para (0,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

d) para (1,0) \underline{nie} jest rozwiązaniem danego układu ?

15. Czy istnieje grupa nieabelowa (tzn. nieprzemienna) rzędu

a) 4 ;

b) 3 ;

c) 6 ;

d) 5 ?

16. Rozważamy pierścień ℤ_{n} = {0, 1, 2, 3, ..., n−1} z dodawaniem i mnożeniem modulo n. Czy pierścień ten jest ciałem dla

a) n = 10 ;

b) n = 11 ;

c) n = 8 ;

d) n = 9 ?

17. Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

a) x^{4}+3x^{2}+2 ;

b) x^{9}+x^{3}+1 ;

c) x^{8}−x^{4}+x^{2}−1 ;

d) x^{4}+x^{2}+1 ?

18. Czy prawdziwa jest równość

a) (3+i )^{2003} = 1000+i;

b) ( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} )^{2003} = \frac{1−i\sqrt{3}}{2} ;

c) ( \frac{1+i}{\sqrt{2}} )^{2003} = i;

d) i^{2003} = −i?

19. Losujemy liczbę ze zbioru {1, 2, 3, ..., 8}. Niech A - zdarzenie, że wylosowana liczba jest liczbą pierwszą, B - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nie większa niż 4, C - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nieparzysta. Czy wtedy

a) zdarzenia B i C są niezależne ;

b) zdarzenia A i C są niezależne ;

c) zdarzenia A i B są niezależne ;

d) zdarzenia A, B i C są niezależne ?

20. Wykonujemy 4 rzuty monetą. Czy wtedy

a) prawdopodobieństwo, że w każdych dwóch kolejnych rzutach wypadły różne wyniki, jest równe 1/4 ;

b) prawdopodobieństwo, że wypadł dokładnie jeden orzeł, jest równe 1/4 ;

c) prawdopodobieństwo, że we wszystkich czterech rzutach wypadły takie same wyniki, jest równe 1/8 ;

d) prawdopodobieństwo, że w pewnych trzech kolejnych rzutach wypadł ten sam wynik, jest równe 3/8 ?

Wersja testu C 13 lutego 2003r.

9

Wersja testu C 13 lutego 2003r.

10

11. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

12. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

13. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

14. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

15. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

16. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

17. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

18. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

19. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

20. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (testowa) 19.06.2002

INSTRUKCJE DOTYCZĄCE WYPEŁNIANIA TESTU

1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów.

2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersją podaną na karcie odpowiedzi.

3. Nie używać własnego papieru, papier na brudnopis zostanie dostarczony przez Komisję Egzaminacyjną. Każdą kartkę brudnopisu nalezy bezzwłocznie podpisać. Nie zadawać głośno pytań, ani nie wstawać z miejsc. W razie potrzeby (np. otrzymania dodatkowego papieru) podnieść rękę i zaczekać na miejscu na podejście osoby dyżurującej.

4. W każdym pytaniu udzielić odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczając krzyżykiem kratkę z WŁAŚCIWĄ odpowiedzią.

5. Punkty otrzymuje się tylko za zadania, w których udzieliło się 4 poprawnych odpowiedzi (po 1 punkcie za zadanie).

6. W przypadku konieczności dokonania zmiany odpowiedzi należy podnieść rękę i zaczekać na podejście osoby dyżurującej.

7. Nie oglądać treści zadań bez pozwolenia, nie pisać po ogłoszeniu końca egzaminu !!!

Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania testowe 13 lutego 2003r.

Wersja testu D 13 lutego 2003r.

1. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

2. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

3. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

4. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

5. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

6. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

7. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

8. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

9. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

10. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

Wersja testu D 13 lutego 2003r.

3

1. Czy prawdą jest, że

a) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

b) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} ∀_{z∈ℝ} y = x+z;

c) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z;

d) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} ∃_{z∈ℝ} y = x+z?

2. O twierdzeniu T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), T (100) oraz że dla dowolnego n 10 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n−1). Czy można stąd wnioskować, że

a) prawdziwe jest T (10) ;

b) prawdziwa jest implikacja T (50) ⇒ T (30) ;

c) prawdziwa jest implikacja T (300) ⇒ T (200) ;

d) prawdziwe jest T (9) ?

3. Czy jest prawdą, że

a) ∫_{50}^{100}sin(x^{777}) dx > 100 ;

b) ∫_{2}^{3}x^{x^{x}} dx > 9 ;

c) ∫_{0}^{10}e^{cosx}dx > 1 ;

d) ∫_{2}^{4} \sqrt{x^{4}+1} dx > 9 ?

4. Funkcja f : ℝ^{2} → ℝ, dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły, spełnia warunek f′_{x}(0,0) = f′_{y}(0,0) = 0. Czy możemy z całą pewnością stwierdzić, że f ma w punkcie (0,0) lokalne maksimum, jeśli wiemy, że a) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −6, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

b) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = −3, f′′_{xy}(0,0) = 2 ;

c) f′′_{xx}(0,0) = −1, f′′_{yy}(0,0) = 3, f′′_{xy}(0,0) = 55 ;

d) f′′_{xx}(0,0) = 1, f′′_{yy}(0,0) = 5, f′′_{xy}(0,0) = 2 ?

5. Czy szereg ∑ _{n=1}^{∞} a_{n} musi być zbieżny, jeśli wiadomo, że

a) lim_{n→∞} a_{n} = 0 ;

b) lim_{n→∞} a_{n} = \frac{2}{3} ;

c) lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 ;

d) lim_{n→∞} a_{n} = 1 ?

6. Czy funkcja f(x,y) = \{ \begin{matrix}y & gdy & y x^{2} \\ x+2 & gdy & y < x^{2} \end{matrix} jest ciągła w punkcie

a) (1,2) ;

b) (−1,1) ;

c) (0,0) ;

d) (2,4) ?

7. Czy dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi nierówność

a) |z +z^{2}| |z|+|z|^{2} ;

b) |z| |z +1|;

c) |z^{2}+1| 1 ;

d) |z\overline{z}| |z^{2}|?

8. Czy dla dowolnych liczby rzeczywistych x, y zachodzi nierówność a) |x−y| |x|+|y|;

b) |x| |x+y|−|y|;

c) xy x^{2}+y^{2} ;

d) xy x^{3}+y^{3} ?

9. Czy ciąg (a_{n}) określony podanym wzorem jest ograniczony

a) a_{n} = \frac{2n^{2}+5}{3n^{2}+7} ;

b) a_{n} = \frac{2n^{3}+5}{3n^{2}+7} ;

c) a_{n} = (−1)^{n} ;

d) a_{n} = n·(−1)^{n} ?

10. Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi równość a) cos(πn) = (−1)^{n} ;

b) sin(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ;

c) sin(πn) = (−1)^{n} ;

d) cos(π(n+ \frac{1}{2}) ) = (−1)^{n} ?

Wersja testu D 13 lutego 2003r.

11. Czy rząd podanej macierzy jest równy 2

a) A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix} ) ;

b) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix} ) ;

c) A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{matrix} ) ;

d) A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 3 \end{matrix} ) ?

12. Czy poprawnie obliczono wyznacznik

a) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix} ) = 1 ;

b) det( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 5 & 5 & 9 \\ 0 & 7 & 4 & 2 \end{matrix} ) = 70 ;

c) det( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ) = 20 ;

d) det( \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & 2 \end{matrix} ) = −1 ?

13. Czy jedną z wartości własnych macierzy ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) jest liczba

a) 3 ;

b) 1 ;

c) 2 ;

d) 4 ?

14. Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Wiadomo, że pary (1,3) i (2,0) są rozwiązaniami tego układu. Czy stąd wynika, że

a) para (0,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

b) para (3,−3) jest rozwiązaniem danego układu ;

c) para (2,6) jest rozwiązaniem danego układu ;

d) para (1,0) \underline{nie} jest rozwiązaniem danego układu ?

15. Czy istnieje grupa nieabelowa (tzn. nieprzemienna) rzędu

a) 4 ;

b) 3 ;

c) 5 ;

d) 6 ?

16. Rozważamy pierścień ℤ_{n} = {0, 1, 2, 3, ..., n−1} z dodawaniem i mnożeniem modulo n. Czy pierścień ten jest ciałem dla

a) n = 8 ;

b) n = 9 ;

c) n = 10 ;

d) n = 11 ?

17. Czy podany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty

a) x^{4}+3x^{2}+2 ;

b) x^{9}+x^{3}+1 ;

c) x^{4}+x^{2}+1 ;

d) x^{8}−x^{4}+x^{2}−1 ?

18. Czy prawdziwa jest równość

a) ( \frac{1+i}{\sqrt{2}} )^{2003} = i;

b) (3+i )^{2003} = 1000+i;

c) i^{2003} = −i;

d) ( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} )^{2003} = \frac{1−i\sqrt{3}}{2} ?

19. Losujemy liczbę ze zbioru {1, 2, 3, ..., 8}. Niech A - zdarzenie, że wylosowana liczba jest liczbą pierwszą, B - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nie większa niż 4, C - zdarzenie, że wylosowana liczba jest nieparzysta. Czy wtedy

a) zdarzenia A i C są niezależne ;

b) zdarzenia B i C są niezależne ;

c) zdarzenia A i B są niezależne ;

d) zdarzenia A, B i C są niezależne ?

20. Wykonujemy 4 rzuty monetą. Czy wtedy

a) prawdopodobieństwo, że w pewnych trzech kolejnych rzutach wypadł ten sam wynik, jest równe 3/8 ;

b) prawdopodobieństwo, że w każdych dwóch kolejnych rzutach wypadły różne wyniki, jest równe 1/4 ;

c) prawdopodobieństwo, że we wszystkich czterech rzutach wypadły takie same wyniki, jest równe 1/8 ;

d) prawdopodobieństwo, że wypadł dokładnie jeden orzeł, jest równe 1/4 ?

Wersja testu D 13 lutego 2003r.

9

Wersja testu D 13 lutego 2003r.

10

11. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

12. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

13. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

14. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

15. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

16. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

17. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

18. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

19. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

20. a. T N  b. T N  c. T N  d. T N

EGZAMIN DYPLOMOWY, część I (testowa) 19.06.2002

INSTRUKCJE DOTYCZĄCE WYPEŁNIANIA TESTU

1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów.

2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersją podaną na karcie odpowiedzi.

3. Nie używać własnego papieru, papier na brudnopis zostanie dostarczony przez Komisję Egzaminacyjną. Każdą kartkę brudnopisu nalezy bezzwłocznie podpisać. Nie zadawać głośno pytań, ani nie wstawać z miejsc. W razie potrzeby (np. otrzymania dodatkowego papieru) podnieść rękę i zaczekać na miejscu na podejście osoby dyżurującej.

4. W każdym pytaniu udzielić odpowiedzi TAK lub NIE, zaznaczając krzyżykiem kratkę z WŁAŚCIWĄ odpowiedzią.

5. Punkty otrzymuje się tylko za zadania, w których udzieliło się 4 poprawnych odpowiedzi (po 1 punkcie za zadanie).

6. W przypadku konieczności dokonania zmiany odpowiedzi należy podnieść rękę i zaczekać na podejście osoby dyżurującej.

7. Nie oglądać treści zadań bez pozwolenia, nie pisać po ogłoszeniu końca egzaminu !!!