Egzamin dyplomowy – zadania otwarte luty 2003

Zadanie 1. (2 punkty) Dowieść, że liczba \sqrt{7} jest niewymierna.

Zadanie 2. (3 punkty) Rozstrzygnąć, dla której wartości parametru A funkcja

f_{A}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{x}−cosx−sinx}{x^{2}} & dla & x ≠ 0 \\ A & dla & x = 0 \end{matrix}

jest różniczkowalna w zerze i obliczyć f′_{A}(0) dla tej wartości parametru A.

Zadanie 3. (3 punkty) Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x, dla których szereg

∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n^{2}}}{\sqrt{n}}

jest zbieżny.

Zadanie 4. (3 punkty) Znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 2·10^{100} +1 i 5·10^{100} +7.

Zadanie 5. (4 punkty) Wielomian charakterystyczny macierzy A o wymiarach 3×3 jest równy x^{3}−x. Wy-

znaczyć wielomian charakterystyczny macierzy A+I, gdzie I jest macierzą identycznościową.

Zadanie 6. (2+3=5 punktów) Losujemy niezależnie dwie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1] z jednostajnym roz-

kładem prawdopodobieństwa.

a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że mniejsza z wylosowanych liczb jest mniejsza od \frac{1}{10}.

b) Obliczyć wartość oczekiwaną mniejszej z wylosowanych liczb.