Egzamin dyplomowy – EK luty 2003

1. Jednym z rozwiązań równania

x′= 2−4t−x+tx^{2}

jest x(t) ≡ 2. Korzystając z podstawienia

y(t) = \frac{1}{x(t)}

skonstruować rozwiązanie ogólne.

2. Punkty (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{10},y_{10}) leżą na prostej y = 2x+7. Wiedząc, że średnia arytmetyczna {x_{1},x_{2},...,x_{10}} jest równa 3, a ich odchylenie standardowe (z próby) wynosi 1, oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe z próby liczb {y_{1},y_{2},...,y_{10}}.

3. Na podstawie tablicy trwania życia obliczyć jednorazową sk ladkę netto dla (20) w czystym ubezpieczeniu na do życie na 2 lata, je żeli stopy procentowe wynoszą: w pierwszym roku i_{1} = 5%, a w drugim i_{2} = 10%.

\begin{matrix}x & l_{x} \\ 20 & 10000 \\ 21 & 9900 \\ 22 & 9500 \\ 23 & 9100 \end{matrix}

4. Niech S = ∑ _{i=1}^{N} X_{i}, gdzie (X_{i}) są niezale żnymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie wyk ladniczym ze średnią 2, a N jest niezale żną od nich zmienną losową o rozk ladzie P (N = k) = p(1−p)^{k}, k ∈ {0,1,2,...}.

• Znaleźć rozk lad zmiennej losowej S.

• Obliczyć E[S] i V ar[S].

• Obliczyć P (S = 0).