Wersja testu A 16 września 2002r.

1. Czy prawdą jest, że

a) ∀_{x∈ℝ} ∃_{y∈ℝ} y < e^{x} ;

b) ∃_{x∈ℝ} ∀_{y∈ℝ} y < e^{x} ;

c) ∀_{y∈ℝ} ∃_{x∈ℝ} y < e^{x} ;

d) ∃_{y∈ℝ} ∀_{x∈ℝ} y < e^{x} ?

2. O twierdzeniu T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1) oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) ⇒ T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że

a) prawdziwe jest T (11) ;

b) prawdziwa jest implikacja T (3) ⇒ T (1) ;

c) prawdziwa jest implikacja T (7) ⇒ T (13) ;

d) prawdziwe jest T (10) ?

3. Czy zbieżny jest szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} arctgn;

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} ;

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{8}+8}{n^{10} +10} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n}+1}{n ^{3} \sqrt{n}+2} ?

4. Czy poprawnie zastosowano regułę de l’Hospitala

a) lim_{x→π} \frac{x−π}{sinx} = lim_{x→π} \frac{1}{cosx} ;

b) lim_{x→2} \frac{sinx}{x^{2}} = lim_{x→2} \frac{cosx}{2x} ;

c) lim_{x→∞} \frac{e^{x}−e}{lnx} = lim_{x→∞} \frac{e^{x}}{1/x} ;

d) lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} = lim_{{x→0 \atop y→0}} \frac{2xy+x^{2}}{4x^{3}+2y} ?

5. Czy jest prawdą, że

a) ∫_{0}^{11}e^{x^{2}}dx > e^{100} ;

b) ∫_{0}^{100}arctgx dx > 200 ;

c) ∫_{e}^{π}lnx dx > 2 ;

d) ∫_{2}^{4}x^{1/x}dx > \sqrt{3}?

6. Funkcja f : ℝ^{2} → ℝ^{2}, dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły, spełnia warunek f′_{x}(0,0) = f′_{y}(0,0) = 0. Czy możemy z całą pewnością stwierdzić, że f ma w punkcie (0,0) lokalne maksimum, jeśli wiemy, że a) f′′_{xx}(0,0) = e, f′′_{yy}(0,0) = −3, f′′_{xy}(0,0) = π;

b) f′′_{xx}(0,0) = −e, f′′_{yy}(0,0) = 3, f′′_{xy}(0,0) = π;

c) f′′_{xx}(0,0) = −2, f′′_{yy}(0,0) = −3, f′′_{xy}(0,0) = −5 ;

d) f′′_{xx}(0,0) = −2, f′′_{yy}(0,0) = 3, f′′_{xy}(0,0) = −4 ?

7. Czy istnieje ściśle malejący ciąg liczb wymiernych dodatnich

a) zbieżny do 1 ;

b) zbieżny do \sqrt{2};

c) mający więcej niż 10 wyrazów całkowitych ;

d) niemający granicy skończonej ?

8. Pierwszy, drugi i piąty wyraz pewnego niestałego postępu arytmetycznego, tworzą (w podanej kolejności) postęp geometryczny. Czy stąd wynika, że postęp geometryczny tworzą także wyrazy

a) 5-ty, 8-my, 13-ty ;

b) 1-szy, 3-ci, 13-ty ;

c) 2-gi, 4-ty, 10-ty ;

d) 2-gi, 5-ty, 13-ty ?

9. Szeregi ∑_{n=1}^{∞} a_{n} i ∑_{n=1}^{∞} b_{n} są rozbieżne. Czy stąd wynika, że rozbieżny jest także szereg

a) ∑_{n=1}^{∞} |a_{n} +b_{n}| ;

b) ∑_{n=1}^{∞} (a_{n} +b_{n}) ;

c) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} ;

d) ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}|?

10. Czy funkcja f określona podanym wzorem jest różniczkowalna w zerze

a) f(x) = e^{|x|} −|x|;

b) f(x) = e^{|x|} ;

c) f(x) = x·|x|;

d) f(x) = |x|?

11. Badamy własności wielomianów ze zbioru ℝ[x]. Czy prawdą jest, że

a) wielomian x^{10}+3x^{2}−1 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty ;

b) wielomian 2x^{5}−3x^{3}+11x^{2}−x+3 przy dzieleniu przez wielomian x+2 daje resztę 3 ;

c) liczba 1 jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu 10x^{11}−11x^{10}+1 ;

d) wielomian x^{4}−x^{2}+1 jest nierozkładalny nad ℝ?

12. Czy podany zbiór z działaniem tworzy grupę

a) zbiór {−1,1} z mnożeniem ;

b) zbiór {0,1,2,3,4,5} z dodawaniem modulo 6 ;

c) zbiór wszystkich obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu (łącznie z obrotem o kąt zerowy), ze składaniem przekształceń jako działaniem ;

d) zbiór liczb całkowitych nieujemnych z dodawaniem ?

13. Dane są macierze A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) i B = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) oraz wektor

b = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) . Czy prawdą jest, że

a) Ab = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) ;

b) (A+B)b = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix} ) ;

c) (AB)b = (BA)b;

d) A^{−1} b = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) ?

14. Dane są macierze A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) oraz B = ( \begin{matrix}1000 & 2000 \\ 3000 & 4000 \end{matrix} ) . Czy

prawdą jest, że

a) istnieje dokładnie jeden wektor v = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \end{matrix} ) taki, że Av = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) ;

b) det(A−I) = 0 ;

c) det(A+B) = detA+detB;

d) det(AB) = 0 ?

15. Czy prawdą jest, że

a) odwzorowanie φ(x) = |x| jest izomorfizmem grupy (ℚ,+) w siebie ;

b) grupa przesunięć równoległych płaszczyzny jest izomorficzna z grupą ℝ⊕ℝ (jako działanie w ℝ rozpatrujemy dodawanie liczb) ;

c) grupy (ℝ,+) i (ℝ^{+} \{0}, · ) są izomorficzne ;

d) zbiór liczb całkowitych i zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 2 z dodawaniem jako działaniem grupowym są izomorficzne ?

16. Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia dla liczb zespolonych a) nie istnieje wielomian o współczynnikach rzeczywistych, którego pierwiastkiem jest z = 1−i;

b) argument iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich argumentów ;

c) i^{k} ∈ {i,1,−1} dla każdej liczby całkowitej k;

d) moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów ?

17. Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia dotyczące baz podanych przestrzeni liniowych

a) wektory (1,1,1), (1,0,1), (0,1,0) nie tworzą bazy przestrzeni euklidesowej E^{3} ;

b) liczby zespolone 1+i oraz 1−i tworzą bazę przestrzeni linowej ℂ nad liczbami rzeczywistymi ℝ;

c) wielomiany X^{2}+X +1, X^{2}+X, 1 tworzą bazę przestrzeni liniowej złożonej z wielomianów stopnia co najwyżej 2 o współczynnikach rzeczywistych ;

d) wektory (1,0), (0,1), (1,1) nie generują przestrzeni euklidesowej E^{2} ? 18. Rozważamy układ równań

\{ \begin{matrix}3x+2y & = & 5 \\ x+ay & = & 6 \end{matrix}

z niewiadomymi x i y oraz parametrem a ∈ ℝ. Czy prawdziwe są zdania a) istnieje taka wartość parametru a, dla którego układ ten nie ma rozwiązań ;

b) istnieje taka wartość parametru a, dla którego para (x,y) = (1,1) jest rozwiązaniem tego układu ;

c) istnieje taka wartość parametru a, dla którego istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego układu ;

d) istnieje taka wartość parametru a, dla którego układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie ?

19. Rzucamy dwa razy kostką. Niech A: pierwszy wynik jest równy 6 , B: drugi wynik jest równy 5, C: suma wyników jest liczbą parzystą. Czy wtedy

a) zdarzenia B i C są zależne ;

b) zdarzenia A i B są niezależne ;

c) zdarzenia A, B, C są niezależne ;

d) zdarzenia A i C są niezależne ?

20. Powtarzamy (do momentu wystąpienia pierwszego sukcesu) eksperyment o prawdopodobieństwie sukcesu p < 1/2. Niech M oznacza liczbę porażek poprzedzających pierwszy sukces. Czy stąd wynika, że a) P (M > m+n , M > m) = P (M > m+n) dla m,n 0 ;

b) P (M > 5 | M > 3) = P (M > 2) ;

c) P (M = 2) < 1/8 ;

d) EM > 1 ?