Teoretyczna 17.09.2002

1. Niech f : [0,∞) → R będzie funkcją ciągłą taką, że lim_{x→∞} f(x) = 1. Udowodnij, że

lim_{t→0}t· ∫_{0}^{∞} e^{−tx} f(x)dx = 1.

2. Uzasadnij, że w każdej domkniętej podgrupie H ≠ R w grupie (R,+) element 0 jest punktem izolowanym. Uzasadnij też, że każda taka nietrywialna podgrupa H ma postać H = {ka: k ∈ Z} dla pewnej liczby a ≠ 0.

3. Dana jest funkcja f(x) = 2x oraz dwie niezależne zmienne losowe X i Y o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,1]. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jednocześnie spełnione są warunki X Y oraz ∫_{X}^{Y}f(x)dx 1/2.

4. SL(2,Z) to zbiór macierzy rozmiaru 2×2 o wyrazach całkowitych i o wyznaczniku 1.

(A) Uzasadnij, że SL(2,Z) jest podgrupą w grupie wszystkich macierzy odwracalnych rozmiaru 2×2.

(B) Udowodnij, że dla dowolnych względnie pierwszych liczb p,q ist-

nieje macierz A ∈ SL(2,Z) postaci A = ( \begin{matrix}p & x \\ q & y \end{matrix}) .

(C) Udowodnij, że dla dowolnych dwóch par p_{1},q_{1} oraz p_{2},q_{2} liczb całkowitych względnie pierwszych (tzn. takich, że (p_{1},q_{1}) = 1 oraz

(p_{2},q_{2}) = 1) istnieje macierz A ∈ SL(2,Z) taka, że A( \begin{matrix}p_{1} \\ q_{1} \end{matrix}) = ( \begin{matrix}p_{2} \\ q_{2} \end{matrix}) .