Zadania otwarte, 16 września 2002r.

1. Dowieść, że liczba log_{36}30 jest niewymierna.

2. Rozstrzygnąć, dla której wartości parametru A funkcja

f_{A}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{3x} −3e^{x}+2}{x^{2}} & dla & x ≠ 0 \\ A & dla & x = 0 \end{matrix}

jest różniczkowalna w zerze i obliczyć f′_{A}(0) dla tej wartości parametru A.

3. Obliczyć całkę

∫_{−1}^{1} ∫_{|x|}^{\sqrt{2−x^{2}}} x^{2}+y^{2}dydx .

4. Udowodnić, że wektory

v_{1} = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{4} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ,

są liniowo zależne w ℝ^{4} i znaleźć ogólną postać liczb c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} spełniających warunek

c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}+c_{4}v_{4} = 0.

5. Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów

w(x) = x^{4}+4 oraz v(x) = x^{3}+x^{2}−2.

6. Studenci zdają egzamin testowy złożony z 40 pytań, gdzie do każdego pytania podane są 4 odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna. Pewien student zna odpowiedzi na połowę zadanych pytań, w 1/8 pytań może wyeliminować dwie odpowiedzi, nie wie nic w przypadku 3/8 pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

(a) student odpowie prawidłowo na losowo wybrane pytanie tego testu,

(b) student odpowie prawidłowo na dokładnie 21 pytań ?