Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część II specjalność teoretyczna

20 czerwca 2002

Teoretyczna 20.06.2002

1. Znajdź równanie parametryczne krzywej różniczkowalnej na płaszczyźnie, która przecina wszystkie proste z pęku o wspólnym punkcie O pod ustalonym kątem α, gdzie 0 < α < π/2.

Wskazówka: za parametr przyjmij kąt, jaki tworzy promień wodzący OX punktu X na krzywej z ustaloną półprostą OA; dobierz dogodny układ współrzędnych oraz ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie różniczkowe.

2. Skonstruuj (wraz z uzasadnieniem) przykład operatora liniowego T o normie 1 na przestrzeni Hilberta H, mającego własność |T (X)| < |X| dla dowolnego X ∈ H,X ≠ 0.

3. (A) Uzasadnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R → R postaci f(x) = ax+b, gdzie a,b ∈ R,a ≠ 0, z działaniem składania, tworzy grupę.

(B) Rozważ na zbiorze L metrykę d określoną w następujący sposób: jeśli f_{1}(x) = a_{1}x+b_{1} i f_{2}(x) = a_{2}x+b_{2} to d(f_{1},f_{2}) = |a_{1}−a_{2}|+|b_{1}−b_{2}|. Uzasadnij, że działanie mnożenia oraz branie elementu odwrotnego w grupie L są działaniami ciągłymi (względem powyższej metryki).

(C) Korzystając z tego, że jedynymi ciągłymi homomorfizmami f : (R,+) → (R−{0},·) są funkcje wykładnicze f(t) = e^{ct}, znajdź wszystkie ciągłe homomorfizmy h: (R,+) → L.

4. Uzasadnij, że jeśli obraz f(U) pewnego otwartego zbioru U ⊂ C przez funkcję analityczną f ma miarę zero, to funkcja f jest (lokalnie) stała na U.