Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część I zadania otwarte 19 czerwca 2002r.

Zadania otwarte, 19 czerwca 2002r.

1. Rozwiązać nierówność

log_{|x−1|} (2x+3) log_{|x−1|} x^{2} .

2. Dowieść, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność

1000n < 2^{n} +10000 .

3. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

f(x,y,z) = y +z

na okręgu określonym równaniami

x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1, 3x+y = 3 .

Podać punkty, w których te wartości są osiągane.

4. Udowodnić, że jeżeli wektory v_{1},v_{2},v_{3} są liniowo niezależne, to wektory

w_{1} = v_{1}+v_{2}+v_{3}, w_{2} = v_{1}+v_{2}, w_{3} = v_{2}+v_{3}

również są liniowo niezależne.

5. Znaleźć rozkłady na czynniki pierwsze wielomianu w(x) = x^{6}−1 nad ciałami liczb rzeczywistych oraz liczb zesplonych.

6. Rzucamy kostką. Jeśli wynik jest mniejszy lub równy 2, to losujemy kulę z urny 1, w przeciwnym wypadku losujemy kulę z urny 2. Jak ułożyć 4 czarne i 4 białe kule w 2 urnach, tak aby prawdopodobieństwo wybrania kuli białej było jak największe, zakładając, że w każdej z urn znajduje się przynajmniej jedna kula każdego z kolorów? Podać wartość tego prawdopodobieństwa.