Pisemny egzamin dyplomowy na Uniwersytecie Wrocławskim

na kierunku matematyka

część II

specjalność ekonomiczna 20 czerwca 2002

Ekonomiczna 20.06.2002

1. Fabryka produkuje dwa wyroby A i B, zużywając do tego celu trzy rodzaje surowców S_{1}, S_{2} i S_{3}, których dobowe zasoby wynoszą odpowiednio 32 jednostki surowca S_{1}, 60 jednostek surowca S_{2} oraz 53 jednostki surowca S_{3}.

(a) Ułożyć plan produkcji gwarantujący fabryce maksymalny zysk, wiedząc, że zysk jednostkowy z tytułu produkcji wyrobu A wynosi 40 zł, a wyrobu B wynośi 100 zł. Jednostkowe zużycie surowców przy produkcji wyrobów A i B podane jest w nastepującej tabelce.

S_{1} S_{2} S_{3}
A 4 3 8
B 4 15 4

(b) Co można powiedzieć o zużyciu surowców w produkcji optymalizującej zysk?

2. Liczba szkód generowanych przez pewną grupę ryzyk w ciągu miesiąca ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 33,33. Wysokość pojedynczej szkody ma rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwanej 8 i odchyleniu standardowym 6. Wysokość szkód i liczby szkód w kolejnych miesiącach są niezależne. Niech S_{12} oznacza łączną wartość szkód w ciągu roku. Niech q będzie liczbą taką, że P (S_{12} > q) = 0,95. Stosując aproksymację normalną, wylicz q. Wsk. Dla rozkładu normalnego

Φ(z) = 0,95,

dla z = 1,645.

3. Zakładamy następujący model: natężenie zgonów jest stałe i wynosi μ > 0 oraz siła stopy procentowej jest stała i wynosi δ > 0.

(a) Napisz prawdopodobieństwo _{t}p_{x}, że x-latek przeżyje czas t.

(b) Oblicz terminową rentę życiową płatną ciągle ā_{x:n}.

(c) Pokaż, że ta renta ā_{x:n} jest równa rencie pewnej ā_{n} obliczonej przy innej sile procentowej δ′ oraz podaj δ′.

4. Rozwiąż równanie

y′′−2y′+y = 0,

przy warunku początkowym y(0) = 1, y′(0) = 0.

5. W partii towaru, który przypuszczalnie zawiera 10% braków, znaleziono 71 braków w próbce złożonej z 500 elementów. Sprawdzić, na poziomie istotności α = 0,05, prawdziwość hipotezy orzekającej, że w partii tej jest istotnie 10% braków. Skorzystać z odpowiedniego przybliżenia rozkładem normalnym oraz z podanej tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.

Rozkład normalny; Φ(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{t} e^{−x^{2}/2} dx

\begin{matrix}t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) & t & Φ(t) \\ 0 & 0,5000 & 0,4 & 0,6554 & 0,8 & 0,7881 & 1,2 & 0,8849 & 1,6 & 0,9452 \\ 0,01 & 0,5040 & 0,41 & 0,6591 & 0,81 & 0,7910 & 1,21 & 0,8869 & 1,61 & 0,9463 \\ 0,02 & 0,5080 & 0,42 & 0,6628 & 0,82 & 0,7939 & 1,22 & 0,8888 & 1,62 & 0,9474 \\ 0,03 & 0,5120 & 0,43 & 0,6664 & 0,83 & 0,7967 & 1,23 & 0,8907 & 1,63 & 0,9484 \\ 0,04 & 0,5160 & 0,44 & 0,6700 & 0,84 & 0,7995 & 1,24 & 0,8925 & 1,64 & 0,9495 \\ 0,05 & 0,5199 & 0,45 & 0,6736 & 0,85 & 0,8023 & 1,25 & 0,8944 & 1,65 & 0,9505 \\ 0,06 & 0,5239 & 0,46 & 0,6772 & 0,86 & 0,8051 & 1,26 & 0,8962 & 1,66 & 0,9515 \\ 0,07 & 0,5279 & 0,47 & 0,6808 & 0,87 & 0,8078 & 1,27 & 0,8980 & 1,67 & 0,9525 \\ 0,08 & 0,5319 & 0,48 & 0,6844 & 0,88 & 0,8106 & 1,28 & 0,8997 & 1,68 & 0,9535 \\ 0,09 & 0,5359 & 0,49 & 0,6879 & 0,89 & 0,8133 & 1,29 & 0,9015 & 1,69 & 0,9545 \\ 0,1 & 0,5398 & 0,5 & 0,6915 & 0,9 & 0,8159 & 1,3 & 0,9032 & 1,7 & 0,9554 \\ 0,11 & 0,5438 & 0,51 & 0,6950 & 0,91 & 0,8186 & 1,31 & 0,9049 & 1,71 & 0,9564 \\ 0,12 & 0,5478 & 0,52 & 0,6985 & 0,92 & 0,8212 & 1,32 & 0,9066 & 1,72 & 0,9573 \\ 0,13 & 0,5517 & 0,53 & 0,7019 & 0,93 & 0,8238 & 1,33 & 0,9082 & 1,73 & 0,9582 \\ 0,14 & 0,5557 & 0,54 & 0,7054 & 0,94 & 0,8264 & 1,34 & 0,9099 & 1,74 & 0,9591 \\ 0,15 & 0,5596 & 0,55 & 0,7088 & 0,95 & 0,8289 & 1,35 & 0,9115 & 1,75 & 0,9599 \\ 0,16 & 0,5636 & 0,56 & 0,7123 & 0,96 & 0,8315 & 1,36 & 0,9131 & 1,76 & 0,9608 \\ 0,17 & 0,5675 & 0,57 & 0,7157 & 0,97 & 0,8340 & 1,37 & 0,9147 & 1,77 & 0,9616 \\ 0,18 & 0,5714 & 0,58 & 0,7190 & 0,98 & 0,8365 & 1,38 & 0,9162 & 1,78 & 0,9625 \\ 0,19 & 0,5753 & 0,59 & 0,7224 & 0,99 & 0,8389 & 1,39 & 0,9177 & 1,79 & 0,9633 \\ 0,2 & 0,5793 & 0,6 & 0,7257 & 1 & 0,8413 & 1,4 & 0,9192 & 1,8 & 0,9641 \\ 0,21 & 0,5832 & 0,61 & 0,7291 & 1,01 & 0,8438 & 1,41 & 0,9207 & 1,81 & 0,9649 \\ 0,22 & 0,5871 & 0,62 & 0,7324 & 1,02 & 0,8461 & 1,42 & 0,9222 & 1,82 & 0,9656 \\ 0,23 & 0,5910 & 0,63 & 0,7357 & 1,03 & 0,8485 & 1,43 & 0,9236 & 1,83 & 0,9664 \\ 0,24 & 0,5948 & 0,64 & 0,7389 & 1,04 & 0,8508 & 1,44 & 0,9251 & 1,84 & 0,9671 \\ 0,25 & 0,5987 & 0,65 & 0,7422 & 1,05 & 0,8531 & 1,45 & 0,9265 & 1,85 & 0,9678 \\ 0,26 & 0,6026 & 0,66 & 0,7454 & 1,06 & 0,8554 & 1,46 & 0,9279 & 1,86 & 0,9686 \\ 0,27 & 0,6064 & 0,67 & 0,7486 & 1,07 & 0,8577 & 1,47 & 0,9292 & 1,87 & 0,9693 \\ 0,28 & 0,6103 & 0,68 & 0,7517 & 1,08 & 0,8599 & 1,48 & 0,9306 & 1,88 & 0,9699 \\ 0,29 & 0,6141 & 0,69 & 0,7549 & 1,09 & 0,8621 & 1,49 & 0,9319 & 1,89 & 0,9706 \\ 0,3 & 0,6179 & 0,7 & 0,7580 & 1,1 & 0,8643 & 1,5 & 0,9332 & 1,9 & 0,9713 \\ 0,31 & 0,6217 & 0,71 & 0,7611 & 1,11 & 0,8665 & 1,51 & 0,9345 & 1,91 & 0,9719 \\ 0,32 & 0,6255 & 0,72 & 0,7642 & 1,12 & 0,8686 & 1,52 & 0,9357 & 1,92 & 0,9726 \\ 0,33 & 0,6293 & 0,73 & 0,7673 & 1,13 & 0,8708 & 1,53 & 0,9370 & 1,93 & 0,9732 \\ 0,34 & 0,6331 & 0,74 & 0,7704 & 1,14 & 0,8729 & 1,54 & 0,9382 & 1,94 & 0,9738 \\ 0,35 & 0,6368 & 0,75 & 0,7734 & 1,15 & 0,8749 & 1,55 & 0,9394 & 1,95 & 0,9744 \\ 0,36 & 0,6406 & 0,76 & 0,7764 & 1,16 & 0,8770 & 1,56 & 0,9406 & 1,96 & 0,9750 \\ 0,37 & 0,6443 & 0,77 & 0,7794 & 1,17 & 0,8790 & 1,57 & 0,9418 & 1,97 & 0,9756 \\ 0,38 & 0,6480 & 0,78 & 0,7823 & 1,18 & 0,8810 & 1,58 & 0,9429 & 1,98 & 0,9761 \\ 0,39 & 0,6517 & 0,79 & 0,7852 & 1,19 & 0,8830 & 1,59 & 0,9441 & 1,99 & 0,9767 \end{matrix}